TÀI LIỆU TOÁN LỚP 9 CHUYÊN ĐỀ LỜI GIAI BÀI TẬP RÈN LUYỆN NÂNG CAO(TIẾP) là tài liệu môn Toán trong chương trình Lớp 9 được cungthi.vn tổng hợp và biên soạn. Tạo nguồn tài liệu giúp các bạn trong việc ôn tập
Những địa chỉ uy tín để bạn mua sách
Nội dung tóm tắt
Câu 71. Giải:
Gọi lần lượt là
trung điểm của .
Gọi là giao điểm của
thì là trung điểm chung của
cả hai đoạn đó. đối xứng với
qua , đối xứng với qua . Ta chứng minh . Thật vậy, ta có ( là đường trung bình của tam giác ; ( là hình bình hành); (đường kính đi qua trung điểm dây cung).Suy ra . Tương tự , suy ra là trực tâm của tam giác do đó . Lấy đối xứng với qua , thì là hình bình hành. Suy ra (bán kính của ). Tương tự . Vậy ta có đpcm.
Câu 72. Giải:
Ta sẽ chứng minh ba đường
thẳng Ơ-le đó cùng đi qua
trọng tâm tam giác .
Do tính tương tự, ta chỉ chứng
minh cho tam giác .
Về phía ngoài tam giác , dựng tam giác đều, nội tiếp trong đường tròn . Tứ giác nội tiếp vì . Do nên là phân giác , suy ra ba điểm thẳng hàng. Gọi là trung điểm của , và lần lượt là trọng tâm của tam giác và tam giác . Vì nên ba điểm thẳng hàng. Mặt khác, là đường thẳng Ơ-le của tam giác , do đó đường thẳng Ơ-le của tam giác đi qua trọng tâm tam giác . Chứng minh hoàn toàn tương tự với các tam giác . Ta có đpcm.
Câu 73. Giải:
Ta sử dụng bổ đề sau để chứng minh.
Bổ đề: cho tam giác nhọn
có là tâm đường tròn ngoại
tiếp, là trực tâm. Khi đó nếu
thì ta có .
Trở lại bài toán: Giả sử bốn điểm
cùng thuộc một đường
tròn. Vì là phân giác của
nên .
Ta chứng minh: nếu thì bốn điểm cùng thuộc một đường tròn.
Kí hiệu lần lượt là hình chiếu của trên và . Lấy hai điểm nằm trên tia sao cho ( nằm giữa và , nằm giữa và ). Lấy hai điểm nằm trên tia sao cho ( nằm giữa và , nằm giữa và ).
a) Nếu và , hoặc và . Khi đó suy ra . Áp dụng bổ đề ta được , trái với điều giả thiết.
b) Nếu và hoặc và . Ta có nên và . Suy ra tứ giác nội tiếp. Giả sử và không nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác . Khi đó nên tam giác đều, suy ra ba điểm trùng nhau, vô lý. Vậy ta có đpcm.
Câu 74. Giải:
Gọi là giao điểm của
và , khác ). Giao
điểm của và là .
Tứ giác nội tiếp đường
tròn , có nên theo
“bài toán con bướm” ta có
(1). Mặt khác và nên tam giác cân tại , suy ra (2).Từ (1) và (2) ta có tứ giác là hình bình hành, do đó . Suy ra . Chứng minh hoàn toàn tương tự ta cũng được . Ta có . Suy ra tứ giác nội tiếp được.
Câu 75. Giải:
Ta có . Do đó tứ giác nội tiếp.Suy ra .
Tương tự ta cũng có tứ giác
nội tiếp.Từ đó suy ra
(2)
Từ (1) và (2) suy ra
. Do đó hay tứ giác nội tiếp được. Vậy (theo (1)). Suy ra (đpcm).
Câu 76. Giải:
Gọi lần lượt là trung điểm của . cắt lần lượt tại . Ta có . Suy ra , mà là trung điểm của nên là trung điểm của .
Ta thấy: ;
mà
(tứ giác
nội tiếp); (tứ
giác nội tiếp)
tứ giác
nội tiếp, hay thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác . Mặt khác tứ giác nội tiếp vì hay cũng có thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác . Suy ra tứ giác nội tiếp (đpcm).
Câu 77.
Giải: Gọi là điểm đối xứng của qua . Ta có .
Mà nên . Vậy tứ giác nội tiếp đường tròn . Gọi là giao điểm của các tiếp
tuyến tại và của ta
chứng minh ba điểm
thẳng hàng. Thật vậy, gọi
là giao điểm thứ hai của
với . Ta có
(g.g) . Suy ra (1). Tương tự (2). Từ (1) và (2) ta có nên (*) Gọi là giao điểm của và . Ta có do đó . Mà (g.g) nên . Tương tự . Suy ra . Do vậy hay (**). Từ (*) và (**) ta có suy ra . Vậy ba điểm thẳng hàng. Ta có thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác . Do vậy thuộc trung trực , suy ra thuộc đường thẳng . Tương tự và cắt nhau tại một điểm thuộc . Do tính chất đối xứng, và cắt nhau tại một điểm thuộc do đó . Vậy các đường thẳng đồng quy tại . (đpcm).
Câu 78. Giải(Bạn đọc có thể xem thêm phần’’Các định lý hình học nổi tiếng’’Nội dung định lý Lyness
Qua kẻ tiếp tuyến chung của và .
Ta có và
do đó .
Vậy là phân giác góc .
Gọi là giao điểm thứ hai của
và . Ta có là điểm
chính giữa của cung do đó
là phân giác góc . Gọi là giao điểm của và .
Ta có . Suy ra tứ giác nội tiếp. Do đó . Mà . Do đó là tâm đường tròn nội tiếp tam giác . Tương tự tâm đường tròn nội tiếp tam giác nằm trên .
Câu 79. Giải:
Gọi là giao điểm thứ hai của với . Theo câu 78 ta có tâm đường tròn nội tiếp tam giác nằm trên (xét với và (xét với ). Suy ra tâm đường tròn nội tiếp tam giác . (đpcm).
Câu 80. Giải:
Ta có
và
(vì tứ giác nội tiếp)
Do đó nên
. Suy ra
do đó
. Vậy tứ giác nội tiếp.
Tương tự ta cũng có tứ giác nội tiếp. Mặt khác suy ra và .Từ đó do đó . Suy ra tứ giác nội tiếp.
Câu 81. Giải:
a) (g.g)
.
b). Ta có
Tứ giác nội tiếp (tứ giác có
hai góc đối bù nhau).
Ta có Tứ giác nội tiếp (tứ giác có hai đỉnh cùng nhìn dưới một góc vuông).
c). Ta có Tứ giác
