Tich Phan So Phuc Full là tài liệu môn Toán trong chương trình Lớp 12 được cungthi.vn tổng hợp và biên soạn. Tạo nguồn tài liệu giúp các bạn trong việc ôn tập
Những địa chỉ uy tín để bạn mua sách
Nội dung tóm tắt
I. NGUYÊN HÀM
1. Phương pháp:
2. Bài tập mẫu:
Bài 1: Tính:
a)
=
=
b)
=
c)
=
= – 3cosx + 2ln|x| + C
d)
=
=
e)
=
= 3sinx – + C = 3sinx - + C
Bài 2: Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số
f(x) = 3x2 – + 4ex biết rằng F(1) = 0
Giải: Ta có: F(x) =
= = x3 – ln|x| + 4ex + C
Mà F(1) = 0 13 – ln|1| + 4e1 + C = 0
C = – 1 – 4e
Vậy: F(x) = x3 – ln|x| + 4ex – 1 – 4e
Bài 3: Cho f(x) = tan2x, tìm nguyên hàm F(x) biết F() = 0
Giải: Ta có: F(x) =
=
= tanx – x + C
Mà: F() = 0 C = – 1
Vậy: F(x) = tanx – x + eq \s\don1(\f(,4)) – 1
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1: Tính
a) (x4 – 3 sinx)
b) ()
HD:
c) (tanx – cotx + C). HD:
d) () e) () f ) ()
d) ()
e) ()
g) ()
h) ()
Bài 2: Cho f(x) = sinx + cosx. Tìm nguyên hàm F(x) biết F( eq \s\don1(\f(,2)) ) = -1(ĐS: F(x) = sinx – cosx – 2)
Bài 3: Cho f(x) = sin2x. Tìm nguyên hàm F(x) biết F( eq \s\don1(\f(,6)) ) = 0 (ĐS: F(x) = - cos2x + )
Bài 4: Cho f(x) = cosxcos3x. Tìm nguyên hàm F(x) biết f(x) bằng 0 khi x = 0 ()
II. TÌM NGUYÊN HÀM BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ
1. Phương pháp:
2. Bài tập mẫu:
Bài 1: Tính:
a. I =
Đặt: u = 3x + 1 dx =
Khi đó: I =
=
b. I =
Đặt: u = 2 – x dx =
Khi đó: I =
= – sinu + C = – sin(2 – x) + C
c) I =
Đặt: u = 1 – 2x dx =
Khi đó: I =
=
d. I =
Đặt: u = 2 – 3x dx =
Khi đó: I =
=
e. I =
=
= 2x + 5ln|x – 2| + C
Bài 2: Tính:
a. I =
Đặt: u = lnx dx =
Khi đó: I =
b. I =
Đặt: u = lnx + 3 dx =
Khi đó: I =
=
c. I =
Đặt: u = lnx dx =
Khi đó: I =
Bài 3: Tính:
a) I =
Đặt: u = 3x2 + 2 dx =
Khi đó: I =
=
b) I =
Đặt: u = x2 – 5 dx =
Khi đó: I =
=
c) I =
Đặt: u = 1 – x3 dx =
Khi đó: I =
=
d) I =
Đặt: u = 2x3 – 3 dx =
Khi đó: I =
=
e) I = =
Đặt: u = 3 – 2x2 dx =
Khi đó: I =
=
Bài 4: Tính:
a) I =
Đặt: u = sinx dx =
Khi đó: I =
=
b) I =
Đặt: u = cosx dx =
Khi đó: I =
=
c) I =
Đặt: u = cosx dx =
Khi đó: I =
=
d) I =
Đặt: u = 1 – 2sinx dx =
Khi đó: I =
=
=
e) I =
Đặt: u = sinx dx =
Khi đó: I =
=
f) I = =
Đặt: u = 3x – 2 dx =
Khi đó: I =
=
g) I = =
Đặt: u = 3 – x2 dx =
Khi đó: I =
=
h) I = =
Đặt: u = 2sinx + 3 dx =
I =
=
Bài 5: Tính:
a) I =
=
=
b) I =
=
==
=
=
=
=
c) I =
=
Đặt: u = sinx dx =
Khi đó: I =
=
d) I =
=
Đặt: u = cosx dx =
I =
=
=
e) I =
=
Đặt: u = sinx dx =
I =
=
=
e) I =
=
=
f) I =
=
=
=
Bài 6: Tính:
a) I =
=
=
b) I =
= . Đặt:
1 – 2x = A(x – 3) + B(x – 2)
Chọn: x = 3 –5 = B B = –5
Chọn: x = 2 –3 = – A A = 3
Khi đó: I =
b) I = .
Đặt:
=
5x – 1 = A + B(x – 1) + C(x – 1)2
Chọn: x = 1 4 = A A = 4
Chọn: x = 0: – 1 = A – B + C
Chọn: x = 2: 9 = A + B + C
Suy ra: A = 4, B = 5, C = 0
Khi đó: I =
=
= =
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1: Tính
a) ()
b) ()
c) ()
d) ()
e) ()
f) ()
g) ()
Bài 2: Tính
a) ()
b) ()
c) ()
d) ()
e) ()
f) ()
g) ()
Bài 3: Tính
a) ( )
b) ()
c) ()
Bài 4: Tính
a) (
b) ()
c) ()
Bài 5: Tính
a) ()
b) ()
c) (- cos(x2))
d) ()
Bài 6: Tính
a) ()
b) ()
c) ()
Bài 7: Tính
a) ()
b) ()
c) () d) ()
Bài 8: Tính
a) ()
b) ()
c) ()
d) ()
e) (tanx – cotx)
f) ()
III. TÌM NGUYÊN HÀM BẰNG PHƯƠNG PHÁP TỪNG PHẦN
1. Phương pháp:
2. Bài tập mẫu:
Bài 1: Tính:
a) I =
Đặt:
Khi đó: I = xex – = xex – ex + C
b) I =
Đặt:
Khi đó: I = xe2x – = xe2x –+ C
c) I =
Đặt:
Khi đó: I = xsinx – = xe2x + cosx + C
d) I = . Đặt:
Khi đó: I = (2 – x)sin2x –
= (2 – x)sin2x + cos2x + C
Cách 2: I = = I1 – I2
* Tính I1 =
* Tính I2 = . Đặt:
Khi đó: I2 = xsin2x –
= xsin2x + cos2x + C
Vậy: I = I1 – I2 = sin2x – xsin2x + cos2x + C
= (1 – x)sin2x + cos2x + C
e) I = . Đặt:
Khi đó: I = – (x2 + 1)cosx +
= – (x2 + 1)cosx + 2I1
* Tính I1 =
Đặt:
Khi đó: I1 = xsinx –
= xsinx + cosx + C
Vậy: I = – (x2 + 1)cosx + 2I1
= – (x2 + 1)cosx + 2xsinx + 2cosx + C
= – x2cosx + cosx + 2xsinx + C
Cách 2: I = = I1 – I2
* Tính I1 = . Đặt:
Khi đó: I1 = – x2cosx +
= – x2cosx + 2I3
* Tính I3 = (ở trên)
Suy ra: I1 = – x2cosx + 2xsinx + 2cosx + C
* Tính I2 = = – cosx + C
Vậy:I = I1 – I2 = – x2cosx + 2xsinx + 2cosx – cosx
