Tổ hợp và Cực trị tổ hợp là tài liệu môn Toán trong chương trình Lớp 11 được cungthi.online tổng hợp và biên soạn từ các nguồn chia sẻ trên Internet. Tạo nguồn tài liệu giúp các bạn trong việc ôn luyện và học tập
Những địa chỉ uy tín để bạn mua sách
Nội dung tóm tắt
CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ TỔ HỢP
QUI TẮC ĐẾM
QUI TẮC CỘNG ( The Addition Priciples- AP) :
Nếu có đối tượng khác nhau trong tập hợp thứ nhất , đối tượng khác nhau trong tập hợp thứ hai ,…… đối tượng khác nhau trong tập hợp thứ m, Thế thì số cách để chọn 1 đối tượng từ 1 trong m tập hợp là .
Cách phát biểu khác:
Cho là m tập hợp hữu hạn , k≥1.Nếu các tập hợp này đôi một rời nhau , nghĩa là thì :.
QUI TẮC NHÂN (The Multiplication – MP)
Giả sử có 1 quá trình có thể chia thành m giai đoạn liên tiếp nhau có thứ tự , Với kế quả khác nhau trong giai đoạn thứ nhất , kết quả khác nhau trong giai đoạn thứ hai ,…… kết quả khác nhau trong giai đoạn thứ m, nếu các kết quả kết hợp lại là phân biệt Thế thì số kết quả kết hợp lại của toàn bộ quá trình là .
Cách phát biểu khác :
Cho là tích Decarste của các tập hợp hữu hạn . Khi đó , ta có.
MỘT SỐ VÍ DỤ :
Có bao nhiêu cách để chọn ra 4 số nguyên dương từ tập hợp S={1 ;2 ;…. ;499 ;500} sao cho là 1 cấp số nhân tăng và công bội của chúng là một số nguyên dương .
GIẢI :
Gọi là 4 số cần chọn , thế thì ta có :
Cho nên : .Điều đó có nghĩa là số cấp số nhân với công bội q là . Theo qui tắc cộng , số cấp số nhân thỏa điều kiện là :
.
Có bao nhiêu số tự nhiên lẻ có 4 chữ số phân biệt ?
GIẢI :
Một số có 4 chữ số là một bộ sắp thứ tự của 4 chữ số ( chữ số 0 không đứng đầu). Vì các số cần đếm là các số lẻ nên chữ số đơn vị có thể là 1,3,5,7,9. Chữ số hàng chục và trăm có là 0,1,2,….9 và chữ số hàng ngàn là 1,2,….9.Vì các chữ số là phân biệt nên :
-Có 5 cách chọn chữ số hàng đơn vị .
-Có 8 cách chọn chữ số hàng ngàn.( khác 0 và khác chữ số đơn vị ).
- Có 8 cách chọn chữ số hàng chục ( khác chữ số đơn vị và hàng ngàn).
-Có 7 cách chọn chữ số hàng trăm .
Vậy có 5.8.8.7= 2240 số cần chọn.
Tìm số cặp có thứ tự (x ;y) của các số nguyên x,y sao cho .
GIẢI :
Ta phân chia bài toán thành 6 trường hợp riêng biệt :
Với mỗi i=0 ;1 ;2 ;3 ;4 ;5 ta đặt .
Dễ kiểm tra :
Vậy .
Tìm số ước số dương của 600 , bao gồm cả 1 và 600
GIẢI :
Trước hết ta chú ý rằng 600= . Khi đó 1 số nguyên dương m là ước số của 600 nếu và chỉ nếu m có dạng : với a,b,c∈Z :0≤a≤3 ; 0≤b≤1 ; 0≤c≤2. Như vậy số ước số là 4.2.3= 24.
MỞ RỘNG:
Nếu một số tự nhiên n có dạng phân tích thừa số nguyên tố( The prime decomposition) là : trong đó là các số nguyên tố phân biệt và . Thế thì số các ước số dương của n là .
(AIME 1988)Tính xác suất để chọn được ngẩu nhiên 1 ước số nguyên dương của là một bội số của .
GIẢI :
Ước số của có dạng .Có 100 cách chọn a , 100 cách chọn b, nên có 100×100 ước số của .Tương tự , bội số của phải thỏa mãn bất đẳng thức 88≤a ;b ≤99, a,b ∈Z ; Nên có 12 cách chọn a, và 12 cách chọn b. Do đó xác suất sẽ là : .
Xác định số các cặp số có thứ tự (a ;b) sao cho bội chung nhỏ nhất của a và b là .
GIẢI :
Cả a,b đều là ước của nên
Vì là BCNN của a,b nên max{x ;s}=3 ; max{y ;t}=7 ; max {z ;u}=13.
Bằng cách liệt kê ta có 7 cách chọn cặp (x ;s) ; 15 cách chọn (y ;t) ; 27 cách chọn (z ;u). Theo qui tắc nhân , ta được 7×15×27=2835 cặp số (a ;b) thỏa điều kiện .
MỞ RỘNG :
Nếu n là số nguyên dương và là phân tích thành thừa số nguyên tố của n.Thì sẽ có cặp số nguyên (a ;b) phân biệt có thứ tự sao cho BCNN(a ;b) là n.
Cho X={1 ;2….. ;100} và đặt S= . Tính .
GIẢI:
Bài toán có thể chia thành các trường hợp phân biệt khi xét a=1;2;….;99.
Với a=k∈{1;2;….;99} thì số cách chọn b là 100-k và c cũng là 100-k , Thế thì số bộ số (a;b;c) cần tìm là . Vì k lấy giá trị 1,2,….,99 nên ta có :
Hãy xác định số hình vuông mà các đỉnh của nó là các điểm trong lưới vuông 10×10 sau (10 điểm , 9 ô).
GIẢI:
Ta nói rằng 4 điểm n×n quartet ( nhóm 4 ) nếu chúng là các đỉnh của hình vuông n×n mà các cạnh của nó song song với đường biên của lưới. Ta cũng nói rằng 1 hình vuông với các đỉnh của 1 quartet là một quartet square.
Ta có 81= quartet 1×1.
Ta có : 8 quartet 2×2 trong lưới 3×10 và có 8 lưới 3×10 trong lưới 10×10 .
Vậy , có quartet 2×2 trong lưới 10×10.
Tương tự ta có : quartet 3×3 trong lưới đó .
Nghĩa là , khi k∈{1 ;2 ;… ;9} có quartet k×k .
Nhưng phần khó khăn là các hình vuông có cạnh không song song với đường biên của lưới .Mỗi hình vuông này sẽ nội tiếp bên trong 1 quartet. Cho nên ta chỉ cần đếm tất cả các quartet và các hình vuông nội tiếp nó. Không khó khăn gì ta được trong 1 k×k quartet có k hình vuông nội tiếp , kể cả nó . Ví dụ khi k=4 ta được hình vẽ bên.
Như vậy ta được :
Có n que có độ dài là 1,2,….n. Có bao nhiêu tam giác không cân được tạo thành từ 3 trong số các que đó ?
GIẢI :
Gọi x,y,z là độ dài 3 que đó . Không mất tính tổng quát , ta giả sử rằng x
z. Ta sắp xếp các tam giác không cân theo độ dài cạnh lớn nhất của nó. Với 1≤k≤n , ta đặt
Do đó theo qui tắc cộng , ta cần tính : .
Ta có : . Nếu z=3 thì x=1 và y=2 , do đó không tồn tại tam giác.Vậy . Bây giờ ta giả sử rằng .
Ta xét 2 trườn
