Tim gia tri lon nhat gia tri nho nhat cua ham so tren mot doan là tài liệu môn Toán trong chương trình Lớp 12 được cungthi.online tổng hợp và biên soạn từ các nguồn chia sẻ trên Internet. Tạo nguồn tài liệu giúp các bạn trong việc ôn luyện và học tập
Những địa chỉ uy tín để bạn mua sách
Nội dung tóm tắt
>> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 1
TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT
TRÊN MỘT ĐOẠN
A. Tóm tắt lý thuyết
Để tìm giá trị lớn nhất (GTLN), giá trị nhỏ nhất (GTNN) của một hàm số, ta có hai quy tắc sau
đây:
1. Quy tắc 1 (Sử dụng định nghĩa)
Giả sử f xác định trên
. Ta có
max
x D
M f x
0 0:
f x M x D
x D f x M
; min
x D
m f x
0 0:
f x m x D
x D f x m
.
2. Quy tắc 2 (Quy tắc tìm GTLN, GTNN của hàm số trên một đoạn): Để tìm giá GTLN,
GTNN của hàm số f xác định trên đoạn ;a b , ta làm như sau:
B1 Tìm các điểm 1x , 2x , …, mx thuộc khoảng ;a b mà tại đó hàm số f có đạo
hàm bằng 0 hoặc không có đạo hàm.
B2 Tính 1f x , 2f x , …, mf x , f a , f b .
B3 So sánh các giá trị tìm được ở bước 2. Số lớn nhất trong các giá trị đó chính là
GTLN của f trên đoạn ;a b ; số nhỏ nhất trong các giá trị đó chính là GTNN của
f trên đoạn ;a b .
1 2
;
max max , , , , ,m
x a b
f x f x f x f x f a f b
.
1 2
;
min min , , , , ,m
x a b
f x f x f x f x f a f b
.
Quy ước. Khi nói đến GTLN, GTNN của hàm số f mà không chỉ rõ GTLN, GTNN trên tập nào
thì ta hiểu là GTLN, GTNN trên tập xác định của f .
B. Một số ví dụ
Ví dụ 1. [ĐHD11] Tìm GTLN, GTNN của hàm số
22 3 3
1
x x
y
x
trên đoạn 0;2 .
>> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 2
Giải. Ta có
2 2
2 2
4 3 1 2 3 3 2 4
' 0
1 1
x x x x x x
y
x x
0;2x . Lại có 0 3y ,
17
2
3
y . Suy ra
0;2
min 3
x
y
,
0;2
17
max
3x
y
.
Nhận xét.
f đồng biến trên ;a b
;
;
min
max
x a b
x a b
f x f a
f x f b
;
f nghịch biến trên ;a b
;
;
min
max
x a b
x a b
f x f b
f x f a
.
Ví dụ 2. [ĐHB03] Tìm GTLN, GTNN của hàm số 24y x x .
Giải. 2;2TXÑ . Ta có
2
2 2
4
' 1
4 4
x x x
y
x x
( 2;2x ).
Với mọi 2;2x , ta có
' 0y 24 0x x 24 x x
2 2
0
4
x
x x
2x .
Vậy
min min 2 ; 2 ; 2 min 2;2;2 2 2y y y y , đạt được 2x ;
max max 2 ; 2 ; 2 min 2;2;2 2 2 2y y y y , đạt được 2 .
Ví dụ 3. [ĐHD03] Tìm GTLN, GTNN của hàm số
2
1
1
x
y
x
trên đoạn 1;2 .
Giải. Ta có
>> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 3
2
2
2 2 2
1 1
11
'
1 1 1
x
x x
xx
y
x x x
.
Với mọi 1;2x ta có
' 0y 1x .
Vậy
3 5
min min 1 ; 2 ; 1 min 0; ; 2 0
5
y y y y
, đạt được 1x ;
3 5
max max 1 ; 2 ; 1 max 0; ; 2 2
5
y y y y
, đạt được 1x .
Ví dụ 4. [ĐHB04] Tìm GTLN, GTNN của hàm số
2ln x
y
x
trên đoạn 31;e .
Giải. Ta có
2
2
2 2
ln
2 . ln
2ln ln
'
x
x x
x xx
y
x x
.
Với mọi 31;x e
ta có
' 0y 22ln ln 0x x ln 0x hoặc ln 2x
1x hoặc
2x e 2x e ( 31 1;e ).
Vậy 3 2 3 2
9 4
min min 1 ; ; min 0; ; 0y y y e y e
e e
, đạt được 1x .
3 3 2 2
9 4 4
max max 1 ; ; max 0; ;y y y e y e
e e e
, đạt được
2x e .
Ví dụ 5. [ĐHD10] Tìm GTNN của hàm số 2 24 21 3 10y x x x x .
>> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 4
Giải. TXÑx
2
2
4 21 0
3 10 0
x x
x x
3 7
2 5
x
x
2 5x , suy ra 2;5TXÑ= . Ta
có
2 2
2 2 3
'
4 21 2 3 10
x x
y
x x x x
.
' 0y
2 2
2 2 3
4 21 2 3 10
x x
x x x x
2 2
2 2
4 4 4 12 9
4 21 4 3 10
x x x x
x x x x
2 2 2 24 3 10 4 4 4 21 4 12 9x x x x x x x x
251 104 29 0x x
1
3
x hoặc
29
17
x .
Thử lại, ta thấy chỉ có
1
3
x là nghiệm của 'y .
2 3y , 5 4y ,
1
2
3
y
min 2y , đạt được
1
3
x .
C. Bài tập
Tìm GTLN, GTNN của các hàm số
1) 24y x .
2) 2 2 5y x x trên đoạn 2;3 .
3) 2 2 4y x x trên đoạn 2;4 .
4) 3 3 3y x x trên đoạn
3
3;
2
.
5) 3 2
1
2 3 4
3
y x x x trên đoạn 4;0 .
6) 3 23 9 1y x x x trên đoạn 4;4 .
7) 3 5 4y x x trên đoạn 3;1 .
8) 4 28 16y x x trên đoạn 1;3 .
9)
1
y x
x
trên khoảng 0; .
>> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 5
10)
1
1
y x
x
trên khoảng 1; .
11)
1
y x
x
trên nửa khoảng 0;2 .
12)
2
x
y
x
trên nửa khoảng 2;4 .
