Trắc nghiệm toán 12 phần 1 Chương III là tài liệu môn Toán trong chương trình Lớp 12 được cungthi.vn tổng hợp và biên soạn. Tạo nguồn tài liệu giúp các bạn trong việc ôn tập
Những địa chỉ uy tín để bạn mua sách
Nội dung tóm tắt
Chương III.
NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
I. KIẾN THỨC VÀ KỸ NĂNG CẦN THIẾT
1. Kiến thức
Theo yêu cầu của chuẩn kiến thức môn Toán lớp 12 THPT hiện hành, học sinh cần hiểu, nhớ các khái niệm và kết quả dưới đây.
Các khái niệm:
Định nghĩa nguyên hàm của hàm số (trên một khoảng ).
Định nghĩa tích phân
Ký hiệu nguyên hàm, ký hiệu tích phân, cận trên, cận dưới của tích phân,
Khái niệm diện tích hình thang cong
Khái niệm thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay một hình thang cong quanh trục
Các kết quả:
Chú ý: Khoảng là khoảng xác định của . Vì vậy, một cách chính xác, phải có . Do đó, là một kết quả sai.
. Kết quả này cũng có nghĩa là là một nguyên hàm của (nếu và có cùng tập xác định).
Các tính chất của nguyên hàm
Công thức đổi biến số nguyên hàm. Công thức nguyên hàm từng phần
Bảng nguyên hàm các hàm số thường gặp
Các tính chất của tích phân.
Công thức đổi biến số tích phân. Công thức tích phân từng phần.
Công thức tính diện tích hình thang cong. Công thức tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong
Công thức tính thể tích khối trong xoay tạo thành khi quay một hình thang cong quanh trục .
2. Kỹ năng
Theo yêu cầu của Chuẩn kỹ năng môn Toán lớp 12 THPT hiện hành, học sinh cần luyện tập để thành thục các kỹ năng dưới đây:
Có khả năng tái hiện các khái niệm, các két quả nêu ở mục 1 trên đây, trong các tình huống cụ thể;
Biết kiểm tra một hàm số có phải là nguyên hàm của hàm số hay không.
Biết kiểm tra tính đúng đắn của khẳng định
Biết tính đạo hàm các hàm số đơn giản ( đã học trong chương trình Toán 11) phục vụ yêu cầu kiểm tra xem một hàm số có phải là nguyên hàm của hàm số hay không ( hoặc kiểm tra tính đúng đắn của khẳng định ).
Biết dùng các tính chất của nguyên hàm và các công thức nguyên hàm của các hàm số thường gặp để tính nguyên hàm của những hàm số đơn giản.
Biết tính tích phân bằng hai cách: sử dụng định nghĩa tích phân đưa bài toán về tìm nguyên hàm; sử dụng các phương pháp tính tích phân: phương pháp khai triển, phương pháp đổi biến số, phương pháp tích phân từng phần.
Biết một số dạng hàm số có thể tích phân từng phần: , trong đó là một trong các hàm số , , , .
Biết biến đổi các biểu thức lượng giác, biết giải các phương trình lượng giác đơn giản ( đã học trong chương trình Toán 10 và Toán 11) .
Biết tính diện tích hình thang cong và tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong.
Biết tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay một hình thang cong quanh trục
Vơi các bài toán tính tích phân những hàm số chưa dấu giá trị tuyệt đối , các bài toán tính diện tích hình phẳng, học sinh cần nắm vững kỹ năng phá dấu giá trị tuyệt đối, biết xét dấu một biểu thức. Đặc biệt, học sinh nên nắm được tính chất: Nếu hàm số liên tục và không triệt tiêu tại điểm nào trên một khoảng thì có dấu không đổi trên khoảng đó đã học ở lớp 11.
3. Một số ví dụ
Ví dụ 1. (Câu 23 Đề minh họa môn Toán kỳ thi THPT quốc gia năm 2017 của Bộ GD&ĐT):
Tìm nguyên hàm của hàm số
A.
C.
B.
D.
Hướng dẫn giải:
Cách 1: Học sinh cần nắm vững kỹ năng kiểm tra tính đúng đắn của khẳng định và phải nhứ cách tính đạo hàm của căn thức, của tích hai hàm số.
Cách giải: Áp dụng công thức và ta có:
Do đó với mọi số thực :
.
Vậy B là đáp án đúng.
Cách 2: Học sinh có thể viết và tính bằng phương pháp đổi biến số.
Ví dụ 2. (Câu 25 Đề minh họa môn Toán kỳ thi THPT quốc gia năm 2017 của Bộ GD&ĐT):
Tính tích phân .
A.
C.
B.
D.
Hướng dẫn giải: Hàm số lấy tích phân là những hàm lượng giác của . Có hai cách tính các tích phân loại này: biến đổi lượng giác tích thành tổng để đưa về tích phân của , hoặc đổi biến số để đưa về tính tích phân hàm lũy thừa.
Cách giải 1: Áp dụng công thức biến tích thành tổng, ta có:
,
Do đó,
Áp dụng công thức và , ta được :
. Tương tự
Do đó , C là đáp án đúng.
Cách giải 2: Đặt thì nên
Đổi cận: ,
Do đó,
Ví dụ 3. (Câu 26 Đề minh họa môn Toán kỳ thi THPT quốc gia năm 2017 của Bộ GD&ĐT):
Tính tích phân:
A.
B.
C.
D.
Hướng dẫn giải: Hàm số dươi dấu tích phân có thể tích phân được bằng phương pháp tích phân từng phần.
Đặt , thì , . Do đó áp dụng công thức tính tích phân từng phần, ta có:
D là đáp án đúng.
Ví dụ 4. (Câu 27 Đề minh họa môn Toán kỳ thi THPT quốc gia năm 2017 của Bộ GD&ĐT):
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số và đồ thị hàm số .
A.
B.
C.
D.
Hướng dẫn giải: Học sinh cần nắm được kỹ năng tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong. Trước tiên, cần tìm giao điểm của hai đồ thị, học sinh cần biết cách viết phương trình xác định hoành độ giao điểm hai đường, biết giải phương trình (bậc 3). Sau đó cần viết được công thức tính diện tích bằng tích phân (có chứa giá trị tuyệt đối) và cuối cùng phải tính được tích phân đó.
ở đây, phương trình xác định hoành độ giao điểm của hai đồ thị là
(1)
Phương trình này có 3 nghiệm phân biệt, viết theo thứ tự tăng là. Từ đó, diện tích cần tính là . Chú ý rằng (1) không có nghiệm nào trong các khoảng , , suy ra không đổi dấu tro
