ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ (Lý thuyết + Bài tập vận dụng có lời giải) File word là tài liệu môn Toán trong chương trình Lớp 12 được cungthi.vn tổng hợp và biên soạn. Tạo nguồn tài liệu giúp các bạn trong việc ôn tập
Những địa chỉ uy tín để bạn mua sách
Nội dung tóm tắt
TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN
1. Cho hàm số có đồ thị ;
Phương trình tiếp tuyến của ( C ) tại điểm là
Trong đó:
o gọi là tọa độ của tiếp điểm.
o là hệ số góc của tiếp tuyến.
2. Ghi nhớ:
Đường thẳng d: thì có hệ số góc là .
Cho đường thẳng . Khi đó:
o .
o .
Nếu tiếp tuyến song song với đường thẳng thì hệ số góc của tiếp tuyến là .(nhớ thử lại).
Nếu tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng thì hệ số góc của tiếp tuyến là .
Trục hoành (trục ): .
Trục tung (trục ): .
B. KỸ NĂNG CƠ BẢN
Bài toán 1: Các dạng phương trình tiếp tuyến thường gặp.
Cho hàm số , gọi đồ thị của hàm số là .
Dạng 1. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại
Phương pháp
o Bước 1. Tính đạo hàm hệ số góc tiếp tuyến .
o Bước 2. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm có dạng:
.
Chú ý:
o Nếu đề bài yêu cầu viết phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ thì khi đó ta tìm bằng cách thế vào hàm số ban đầu, tức Nếu đề cho ta thay vào hàm số để giải ra .
o Nếu đề bài yêu cầu viết phương trình tiếp tuyến tại các giao điểm của đồ thị và đường thẳng Khi đó các hoành độ tiếp điểm là nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm giữa và
Sử dụng máy tính:
Phương trình tiếp tuyến cần tìm có dạng
o Bước 1: Tìm hệ số góc tiếp tuyến . Nhập bằng cách nhấn sau đó nhấn ta được
o Bước 2: Sau đó nhân với tiếp tục nhấn phím nhấn phím ta được b.
Ví dụ minh họa:
Ví dụ 1. Cho hàm số . Phương trình tiếp tuyến của tại điểm là:
A. B. C. D.
Hướng dẫn giải
Ta có: . Phương trình tiếp tuyến tại là:
.
Sử dụng máy tính:
o Nhập nhấn dấu ta được 9.
o Sau đó nhân với nhấn dấu nhấn dấu ta được .
Vậy phương trình tiếp tuyến tại là: .
Ví dụ 2. Cho hàm số . Phương trình tiếp tuyến của tại điểm thuộc và có hoành độ bằng
A. B. C. D.
Hướng dẫn giải
Ta có:
.
Phương trình tiếp tuyến tại là: .
Sử dụng máy tính:
o Nhập nhấn dấu ta được.
o Sau đó nhân với nhấn dấu nhấn dấu ta được .
Vậy phương trình tiếp tuyến tại là:
Ví dụ 3. Cho hàm số . Phương trình tiếp tuyến của tại điểm có hoành độ biết là:
A. B. C. D.
Hướng dẫn giải
Ta có: ,.
Mà (vì ).
.
Phương trình tiếp tuyến tại là:
Sử dụng máy tính:
o Nhập nhấn dấu ta được .
o Sau đó nhân với nhấn dấu nhấn dấu ta được .
Vậy phương trình tiếp tuyến là
Dạng 2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số có hệ số góc cho trước.
Phương pháp
o Bước 1. Gọi là tiếp điểm và tính .
o Bước 2. Hệ số góc tiếp tuyến là . Giải phương trình này tìm được thay vào hàm số được
o Bước 3. Với mỗi tiếp điểm ta tìm được các tiếp tuyến tương ứng.
Chú ý: Đề bài thường cho hệ số góc tiếp tuyến dưới các dạng sau:
Tiếp tuyến hệ số góc của tiếp tuyến là
Tiếp tuyến hệ số góc của tiếp tuyến là
Tiếp tuyến tạo với trục hoành một góc thì hệ số góc của tiếp tuyến là
Sử dụng máy tính:
Nhập: nhấn dấu ta được b. Phương trình tiếp tuyến là
Ví dụ minh họa:
Ví dụ 1. Cho hàm số . Phương trình tiếp tuyến của biết hệ số góc của tiếp tuyến đó bằng 9 là:
A. B. C. D.
Hướng dẫn giải
Ta có , .
+ Với ta có tiếp điểm .
Phương trình tiếp tuyến tại là: .
+ Với ta có tiếp điểm .
Phương trình tiếp tuyến tại là: .
Vậy có hai tiếp tuyến cần tìm là và .
Sử dụng máy tính:
+ Với ta nhập nhấn dấu
ta được
+ Với ta nhập nhấn dấu
ta được
Ví dụ 2. Cho hàm số Viết phương trình tiếp tuyến của biết tiếp tuyến song song với đường thẳng có phương trình .
A. B. C. D.
Hướng dẫn giải
Ta có , . Do tiếp tuyến song song với đường thẳng nên .
+ Với nhập nhấn dấu ta được 2
( loại do trùng với ).
+ Với nhấn dấu ta được .
Vậy phương trình tiếp tuyến là .
Dạng 3. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết tiếp tuyến đi qua
Phương pháp
Cách 1.
o Bước 1: Phương trình tiếp tuyến đi qua hệ số góc có dạng:
o Bước 2: là tiếp tuyến của khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm:
.
o Bước 3: Giải hệ này tìm được suy ra và thế vào phương trình , ta được tiếp tuyến cần tìm.
Cách 2.
o Bước 1. Gọi là tiếp điểm và tính hệ số góc tiếp tuyến theo
o Bước 2. Phương trình tiếp tuyến có dạng:
Do điểm nên giải phương trình này sẽ tìm được .
o Bước 3. Thế vào ta được tiếp tuyến cần tìm.
Chú ý: Đối với dạng viết phương trình tiếp tuyến đi qua điểm việc tính toán tương đối mất thời gian. Ta có thể sử dụng máy tính thay các đáp án:
Cho bằng kết quả các đáp án. Vào nhập hệ số phương trình. Thông thường máy tính cho số nghiệm thực nhỏ hơn số bậc của phương trình là 1 thì ta chọn đáp án đó.
Ví dụ minh họa:
Ví dụ. Cho hàm số Viết phương trình tiếp tuyến của biết tiếp tuyến đi qua điểm
A. B. C. D.
Hướng dẫn giải
Ta có: .
+ Gọi là phương trình tiếp tuyến của đi qua với hệ số góc có phương trình là: .
+ là tiếp tuyến của khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm:
Thay từ vào ta được
.
+ Với . Phương trình tiếp tuyến là:
+ Với . Phương trình tiếp tuyến là:
Dạng 4. Viết phương trình tiếp tuyến chung của hai đồ thị hàm số và .
Phương pháp
o Bước 1. Gọi tiếp tuyến chung của và là hoành độ tiếp điểm của và thì phương tr
