Vectơ trong không gian, quan hệ vuông góc – Trần Quốc Nghĩa là tài liệu môn Toán trong chương trình Lớp 12 được cungthi.online tổng hợp và biên soạn từ các nguồn chia sẻ trên Internet. Tạo nguồn tài liệu giúp các bạn trong việc ôn luyện và học tập
Những địa chỉ uy tín để bạn mua sách
Nội dung tóm tắt
GV. TRẦN QUỐC NGHĨA 1
VÉCTƠ TRONG KHÔNG GIAN
QUAN HỆ VUÔNG GÓC
Vấn đề 1. VÉCTƠ TRONG KHÔNG GIAN
I. Véctơtrongkhônggian
① Véctơ, giá và độ dài của véctơ.
Véctơ trong không gian là một đoạn thẳng có hướng. Kí hiệu AB
chỉ véctơ có điểm đầu
A , điểm cuối B . Véctơ còn được kí hiệu a
, b
, c
, …
Giá của véctơ là đường thẳng đi qua điểm đầu và điểm cuối của véctơ đó. Hai véctơ được
gọi là cùng phương nếu giá của chúng song song hoặc trùng nhau. Ngược lại, hai véctơ có
giá cắt nhau được gọi là hai véctơ không cùng phương. Hai véctơ cùng phương thì có thể
cùng hướng hoặc ngược hướng.
Độ dài của véctơ là độ dài của đoạn thẳng có hai đầu mút là điểm đầu và điểm cuối của
véctơ. Véctơ có độ dài bằng 1 gọi là véctơ đơn vị. Kí hiệu độ dài véctơ AB
là AB
Như vậy: AB AB BA= =
.
② Hai véctơ bằng nhau, đối nhau. Cho hai véctơ a , b
(≠ 0
)
Hai véctơ a
và b
được gọi là bằng nhau nếu chúng có cùng hướng và cùng độ dài.
Kí hiệu a b=
và
| | | |
a b
a b
a b
= ⇔
=
cuøng höôùng
Hai véctơ a
và được gọi là đối nhau nếu chúng ngược hướng và cùng độ dài.
Kí hiệu a b= −
và
| | | |
a b
a b
a b
= ⇔
=
cuøng höôùng
③ Véctơ – không.
Véctơ – không là véctơ có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau.
Kí hiệu: 0
, ... 0AA BB CC= = = =
.
Véctơ – không có phương, hướng tùy ý, có độ dài bằng không.
Véctơ – không cùng phương, cùng hướng với mọi véctơ.
II.Phépcộngvàphéptrừvéctơ
① Định nghĩa 1.
Cho a
và b
. Trong không gian lấy một điểm A tùy ý, dựng AB a=
, BC b=
. Véctơ AC
được gọi là tổng của hai véctơ a
và b
và được kí hiệu AC AB BC a b= + = +
.
( )a b a b− = + −
② Tính chất 1.
Tính chất giao hoán: a b b a+ = +
Tính chất kết hợp: ( ) ( )a b c a b c+ + = + +
Cộng với 0
: 0 0a a a+ = + =
Cộng với véctơ đối: ( ) 0a a a a+ − = − + =
a
b
A
B
C
a
b
a b+
8 Chủđề
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 – HK2 2
③ Các qui tắc.
Qui tắc ba điểm: Với ba điểm A , B , C bất kì ta có: AC AB BC= +
Mở rộng: Qui tắc đa giác khép kín
Cho n điểm bất kì 1 2 3 –1, , , , , n nA A A A A… . Ta có: 1 2 2 3 1 1n n nA A A A A A A A−+ + + =
…
Qui tắc trừ (ba điểm cho phép trừ):
Với ba điểm A , B , C bất kì ta có: AC BC BA= −
Qui tắc hình bình hành:
Với hình bình hành ABCD ta có: AC AB AD= +
và DB AB AD= −
Qui tắc hình hộp.
Cho hình hộp .ABCD A B C D′ ′ ′ ′ với AB , AD , AA′ là ba cạnh
có chung đỉnh A và AC′ là đường chéo, ta có:
AC AB AD AA′ ′= + +
III.Phépnhânmộtsốvớimộtvéctơ
① Định nghĩa 2.
Cho 0k ≠ và véctơ 0a ≠
. Tích .k a
là một véctơ:
- Cùng hướng với a
nếu 0k >
- Ngược hướng với a
nếu 0k <
② Tính chất 2. Với a , b
bất kì; ,m n R∈ , ta có:
( )m a b ma mb+ = +
( )m n a ma na+ = +
( ) ( )m na mn a=
1.a a=
, ( )1 .a a− = −
0. 0a =
; .0 0k =
③ Điều kiện để hai véctơ cùng phương.
Cho hai véctơ a
và b
( 0≠
), 0k ≠ : a
cùng phương b
⇔ a kb=
Hệ quả: điều kiện để ba điểm A , B , C thẳng hàng là AB k AC=
④ Một số tính chất.
Tính chất trung điểm
Cho đoạn thẳng AB có I là trung điểm, ta có: 0IA IB+ =
; IA IB= −
;
1
2
AI IB AB= =
2MA MB MI+ =
( M bất kì)
Tính chất trọng tâm.
Cho ABC∆ , G là trọng tâm, ta có: 0GA GB GC+ + =
3MA MB MC MG+ + =
( M bất kì)
Tính chất hình bình hành.
Cho hình bình hành ABCD tâm O , ta có:
0OA OB OC OD+ + + =
4MA MB MC MD MO+ + + =
1A
2A3
A
4A 5A 7A
8A
9A
10A
n-1A
nA
A
B
C
A
B C
D
A B
CD
A' B'
C'D'
M
A I B
A
B C
G
A
B C
D
O
GV. TRẦN QUỐC NGHĨA 3
IV.Điềukiệnđểbavéctơđồngphẳng
① Khái niện về sự đồng phẳng của ba véctơ trong không gian.
Cho ba véctơ a
, b
, c
(≠ 0
) trong không gian. Từ một điểm O bất kì ta dựng OA a=
,
OB b=
, OC c=
. Khi đó xảy ra hai trường hợp:
Các đường thẳng OA , OB , OC không cùng nằm trong một mặt phẳng thì ta nói ba véctơ
a
,b
, c
không đồng phẳng.
Các đường thẳng OA , OB , OC cùng nằm trong một mặt phẳng thì ta nói ba véctơ a
,
b
, c
đồng phẳng.
② Định nghĩa 3.
Ba véctơ gọi là đồng phẳng nếu các giá của chúng cùng song song
với một mặt phẳng.
Trên hình bên, giá của các véctơ a
, b
, c
cùng song song với mặt
phẳng (α) nên ba véctơ a
, b
, c
đồng phẳng.
③ Điều kiện để ba véctơ đồng phẳng
Định lí 1.
Cho ba véctơ a
, b
, c
trong đó a
và b
không cùng phương. Điều kiện cần và đủ để ba
véctơ a
, b
, c
đồng phẳng là có duy nhất các số m , n sao cho c ma nb= +
.
④ Phân tích một véctơ theo ba véctơ không đồng phẳng
Định lí 2.
