Nội dung bài giảng
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm M(2;1).
a) Lập phương trình đường tròn (C) tiếp xúc với đường thẳng d: x - y - 1 = 0 tại M(2;1) và có tâm nằm trên đường thẳng d' :x - 2y - 6 = 0
b) Lập phương trình tiếp tuyến với (C) biết rằng tiếp tuyến này vuông góc với đường thẳng m: x - y + 3 = 0
Gợi ý làm bài
a) Đường thẳng \(\Delta \) đi qua M và vuông góc với d có phương trình \(\Delta :x + y + C = 0\). \(\Delta \) qua M nên C = -3. Vậy \(\Delta :x + y - 3 = 0\)
Tọa độ tâm I của đường tròn (C) là nghiệm của hệ:
\(\left\{ \matrix{
x + y - 3 = 0 \hfill \cr
x - 2y - 6 = 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x = 4 \hfill \cr
y = - 1 \hfill \cr} \right. \Rightarrow I(4; - 1).\)
Bán kính \(R = IM = 2\sqrt 2 \)
Phương trình đường tròn cần tìm có tâm I(4;-1) và có bán kính \(R = 2\sqrt 2 \) là:
\({(x - 4)^2} + {(y + 1)^2} = 8.\)
b) Đường thẳng m: x - y + 3 = 0 Tiếp tuyến \(\Delta '\) với (C) vuông góc với đường thẳng m nên \(\Delta '\) có phương trình : x + y + c = 0
\(\Delta '\) là tiếp tuyến với (C) \( \Leftrightarrow d\left[ {I;\Delta '} \right] = R\)
\(\eqalign{
& \Leftrightarrow d\left[ {I;\Delta '} \right] = R \cr
& \Leftrightarrow {{\left| {4 - 1 + c} \right|} \over {\sqrt {{1^2} + {1^2}} }} = 2\sqrt 2 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
c = 1 \hfill \cr
c = - 7 \hfill \cr} \right. \cr} \)
Vậy có hai tiếp tuyến với (C) thỏa mãn yêu cầu bài toán có phương trình là :
\(\left[ \matrix{
\Delta {'_1}:x + y + 1 = 0 \hfill \cr
\Delta {'_2}:x + y - 7 = 0 \hfill \cr} \right.\)