Nội dung bài giảng
Tìm hàm số bậc hai y = f(x) thỏa mãn các điều kiện sau :
a) Parabol y = f(x) cắt trục tung tại điểm (0; -4)
b) f(2) = 6
c) Phương trình f(x) = 0 có hai nghiệm và hiệu giữa nghiệm lớn và nghiệm bé bằng 5
Giải
Giả sử:
f(x) = ax2 + bx + c (a ≠ 0)
f(0) = -4 ⇒ c = -4
f(2) = 6 ⇒ 4a + 2b + c = 6 ⇒ 4a + 2b = 10 ⇒ 2a + b = 5 (1)
Ta có: (x1 – x2 )2 = 25 ⇔ S2 – 4P = 25
Với
\(\left\{ \matrix{
S = {x_1} + {x_2} = - {b \over a} \hfill \cr
P = {x_1}{x_2} = {c \over a} = {{ - 4} \over a} \hfill \cr} \right.\)
Do đó: \({{{b^2}} \over {{a^2}}} + {{16} \over a} = 25\)
\(\Leftrightarrow {b^2} + 16a = 25{a^2}\,\,\,\,\,(2)\)
Từ (1) và (2) ta có hệ:
\(\left\{ \matrix{
2a + b = 5 \hfill \cr
{b^2} + 16a = 25{a^2} \hfill \cr} \right.\)
Hay \(b = 5 – 2a\) vào (2), ta được:
\({(5 - 2a)^2} + 16a = 25{a^2} \Leftrightarrow 21{a^2} + 4a - 25 = 0 \)
\(\Leftrightarrow \left[ \matrix{
a = 1 \hfill \cr
a = - {{25} \over {21}} \hfill \cr} \right.\)
Nếu \(a = 1 ⇒ b = 3\)
Nếu \(a = - {{25} \over {21}} \Rightarrow b = {{155} \over {21}}\)
Vậy hàm số \(y = x^2+ 3x – 4\) và \(y = - {{25} \over {21}}{x^2} + {{155} \over {21}}x - 4\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.