Nội dung bài giảng
Bài 3. Biết hệ số của \(x^2\) trong khai triển của \((1 - 3x)^n\) là \(90\). Tìm \(n\).
Bài giải:
Với số thực \(x ≠ 0 \) và với mọi số tự nhiên \(n ≥ 1\), ta có:
\({(1 - 3x)^n} = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k{{.1}^{n - k}}.{{( - 3x)}^k} = } \)
\(\sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k{{.1}^{n - k}}.{{( - 3)}^k}.{x^k}} \)
Suy ra hệ số của \(x^2\) trong khai triển này là \({(-3)^2}C_n^2\).Theo giả thiết, ta có:
\({(-3)^2}C_n^2 = 90 \Rightarrow C_n^2 = 10\).
Từ đó ta có:
\(\frac{n!}{2!(n - 2)!} = 10\)\( ⇔ n(n - 1) = 20\).
\(⇔ n^2 – n – 20 = 0 ⇔ n = -4\) (loại) hoặc \(n = 5\) (thỏa mãn).