Nội dung bài giảng
Bài 10. Chứng minh:
a) \(\sqrt {4 + 2\sqrt 3 } - \sqrt {4 - 2\sqrt 3 } = 2;\)
b) \(\root 3 \of {9 + \sqrt {80} } + \root 3 \of {9 - \sqrt {80} } = 3\)
Giải
a) Ta có \(4 \pm 2\sqrt 3 = {\left( {\sqrt 3 } \right)^2} \pm 2\sqrt 3 + 1 = {\left( {\sqrt 3 \pm 1} \right)^2}\)
nên \(\sqrt {4 + 2\sqrt 3 } - \sqrt {4 - 2\sqrt 3 } = \left( {\sqrt 3 + 1} \right) - \left( {\sqrt 3 - 1} \right) = 2\)
b) Đặt \(x = \root 3 \of {9 + \sqrt {80} } + \root 3 \of {9 - \sqrt {80} } \)
Ta có \({x^3} = {\left( {\root 3 \of {9 + \sqrt {80} } + \root 3 \of {9 - \sqrt {80} } } \right)^3}\)
\( = 9 + \sqrt {80} + 9 - \sqrt {80} + 3\root 3 \of {9 + \sqrt {80} } .\root 3 \of {9 - \sqrt {80} } .x\)
\( = 18 + 3\root 3 \of {81 - 80} .x = 18 + 3x\).
Do đó: \({x^3} - 3x - 18 = 0\,\,\left( * \right)\)
Mà \({x^3} - 3x - 18 = \left( {x - 3} \right)\left( {{x^2} + 3x + 6} \right)\) nên từ phương trình đã cho suy ra
x=3 (vì \({x^2} + 3x + 6 > 0,\forall x\))
Vậy \(\root 3 \of {9 + \sqrt {80} } + \root 3 \of {9 - \sqrt {80} } = 3\)