Nội dung bài giảng
Bài 18. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:
a) \(y = 2{\sin ^2}x + 2\sin x - 1\)
b) \(y = {\cos ^2}2x - \sin x\cos x + 4\)
Giải
a) Đặt \(t = \sin x, - 1 \le t \le 1\)
\(y = f\left( t \right) = 2{t^2} + 2t - 1\)
Ta tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = f\left( t \right)\) trên đoạn \(\left[ { - 1;1} \right]\). Đó cũng là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho trên \(\mathbb R\).
\(f'\left( t \right) = 4t + 2;f'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow t = - {1 \over 2}\)
Ta có: \(f\left( { - 1} \right) = - 1;f\left( { - {1 \over 2}} \right) = - {3 \over 2};f\left( 1 \right) = 3\)
\(\mathop {\min \,\,f\left( t \right)}\limits_{t \in \left[ { - 1;1} \right]} = - {3 \over 2};\,\,\,\,\,\,\mathop {\max \,\,f\left( t \right)}\limits_{t \in \left[ { - 1;1} \right]} = 3\)
Vậy \(\mathop {\min \,\,y}\limits_{x \in {\mathbb{R}}} = - {3 \over 2};\,\,\,\,\,\,\mathop {\max \,\,y}\limits_{x \in {\mathbb{R}}} = 3\).
b) Ta có: \(y = 1 - {\sin ^2}2x - {1 \over 2}\sin 2x + 4 = - {\sin ^2}2x - {1 \over 2}\sin 2x + 5\)
Đặt \(t = \sin 2x, - 1 \le t \le 1\)
\(y = f\left( t \right) = - {t^2} - {1 \over 2}t + 5;f'\left( t \right) = - 2t - {1 \over 2};f'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow t = - {1 \over 4} \in \left[ { - 1;1} \right]\)
Ta có: \(f\left( { - 1} \right) = {9 \over 2};f\left( { - {1 \over 4}} \right) = {{81} \over {16}};f\left( 1 \right) = {7 \over 2}\)
\(\mathop {\min \,\,f\left( t \right)}\limits_{t \in \left[ { - 1;1} \right]} = {7 \over 2};\,\,\,\,\,\mathop {\max \,\,f\left( t \right)}\limits_{t \in \left[ { - 1;1} \right]} = {{81} \over {16}}\)
Vậy \(\mathop {\min \,\,y}\limits_{x \in {\mathbb{R}}} = {7 \over 2};\,\,\,\,\,\mathop {\max \,\,y}\limits_{x \in {\mathbb{R}}} = {{81} \over {16}}\).