Nội dung bài giảng
Tìm m để mỗi phương trình sau có nghiệm:
a) \({25^{x + 1}} - {5^{x + 2}} + m = 0\)
b) \({\left( {{1 \over 9}} \right)^x} - m.{\left( {{1 \over 3}} \right)^x} + 2m + 1 = 0.\)
Giải
a) Đặt \({5^{x + 1}} = t\left( {t > 0} \right)\) . Bài toán trở thành:
Tìm m để phương trình \({t^2} - 5t + m = 0\) (1) có ít nhất một nghiệm dương.
Điều kiện để (1) có nghiệm là \(\Delta = 25 - 4m \ge 0\) hay \(m \le {{25} \over 4}\). Gọi các nghiệm của (1) là \({t_1}\) và \({t_2}\left( {{t_1} \le {t_2}} \right)\), theo hệ thức Vi-ét \({t_1} + {t_2} = 5\) suy ra \({t_2} > 0\).
Vậy \(m \le {{25} \over 4}\) thì phương trình (1) có ít nhất nghiệm \({t_2} > 0\), suy ra phương trình đã cho có nghiệm.
b) Đặt \({\left( {{1 \over 3}} \right)^x} = t\left( {t > 0} \right)\). Bài toán trở thành
Tìm m để phương trình \({t^2} - mt + 2m + 1 = 0\) (2) có ít nhất một nghiệm dương.Điều kiện để (2) có nghiệm là
\(\Delta = {m^2} - 4\left(2 {m + 1} \right) = {m^2} - 8m - 4 \ge 0\)
hay \(m \le 4 - 2\sqrt 5 \) hoặc \(m \ge 4 + 2\sqrt 5 \)
Gọi các nghiệm của (2) là \({t_1}\) và \({t_2}\left( {{t_1} \le {t_2}} \right)\), theo hệ thức Vi-ét
\({t_1} + {t_2} = m;{t_1}{t_2} = 2m + 1\)
- Với \(m \ge 4 + 2\sqrt 5 \) thì \({t_1} + {t_2} = m \ge 4 + 2\sqrt 5 \) suy ra \({t_2} > 0\)
- Với \(m < - {1 \over 2}\) thì \({t_1}{t_2} < 0\) suy ra \({t_2} > 0\)
- Với \( - {1 \over 2} < m < 4 - 2\sqrt 5 \) thì \({t_1} + {t_2} < 0\) và \({t_1}{t_2} < 0\) suy ra \({t_1} < {t_2} < 0\)
Vậy với \(m < - {1 \over 2}\) hoặc \(m \ge 4 + \sqrt 5 \) thì phương trình (2) có ít nhất nghiệm \({t_2} > 0\), suy ra phương trình đã cho có nghiệm.
Chú ý: Có thể lập bảng xét dấu trực tiếp với
\(\Delta = {m^2} - 8m - 4;S = m;P = 2m + 1\)