[2H1-2. 3-3]Cho lăng trụ tam giác đều $A B C . A^{'} B^{'} C^{'}$ có $A B = a$ , góc giữa hai mặt phẳng $(A^{'} B C)$ và $(A B C)$ bằng $60 °$ . Gọi $G$ là trọng tâm tam giác $A^{'} B C$ . Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện $G A B C$ .

\frac{a \sqrt{3}}{12}

a \sqrt{3}

\frac{7 a}{12}

a

Đáp án và lời giải

Đáp án:C

Lời giải:Lờigiải
Chọn C

Gọi

O

là trọng tâm tam giác đều

A B C

M

là trung điểm cạnh

B C

\Rightarrow \{\begin{cases} A M ⊥ B C \\ A^{'} M ⊥ B C \end{cases} \Rightarrow (\hat{(A^{'} B C), (A B C)}) = \hat{A M A^{'}} = 60 °

.
Ta có:

\frac{M O}{M A} = \frac{M G}{M A^{'}} = \frac{1}{3} \Rightarrow

O G // A A^{'} \Rightarrow G O ⊥ (A B C)

tại

O

G O

là trục của đường tròn ngoại tiếp tam giác đều

A B C

\Rightarrow G . A B C

là hình chóp tam giác đều.
Dựng mặt phẳng trung trực

(α)

của cạnh

G A

(α)

cắt

G A, G O

lần lượt tại

N, I \Rightarrow I

là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

S . A B C

, bán kính mặt cầu là

R = G I = \frac{G A^{2}}{2 G O}

. (*)
Tam giác

A B C

đều cạnh

A B = a \Rightarrow A M = \frac{a \sqrt{3}}{2}

.
Xét tam giác vuông

O G M

vuông tại

O

có:

\{\begin{cases} O M = \frac{1}{3} . \frac{a \sqrt{3}}{2} = \frac{a \sqrt{3}}{6} \\ O G = O M . \tan 60 ° = \frac{a}{2} \end{cases}

.
Xét tam giác vuông

A G O

vuông tại

O

ta có:

A G^{2} = A O^{2} + G O^{2} = {(\frac{2}{3} . \frac{a \sqrt{3}}{2})}^{2} + {(\frac{a}{2})}^{2} = \frac{7 a^{2}}{12}

\Rightarrow R = G I = \frac{G A^{2}}{2 G O} = \frac{\frac{7 a^{2}}{12}}{2. \frac{a}{2}} = \frac{7 a}{12}

Câu hỏi thuộc đề thi sau. Bạn có muốn thi thử?

Làm bài

Câu hỏi Toán học