Cho hình chóp $S . A B C D$ có đáy là hình vuông cạnh $a$ . Cạnh bên $S A = a \sqrt{6}$ và vuông góc với đáy $(A B C D)$ . Tính theo $a$ diện tích mặt cầu ngoại tiếp khối chóp $S . A B C D$

2 a^{2}

8 π a^{2}

a^{2} \sqrt{2}

2 π a^{2}

Đáp án và lời giải

Đáp án:B

Lời giải:Lời giải
Chọn B

Gọi

I

là trung điểm cạnh

S C

. Do

A B C D

là hình vuông cạnh

a

nên

A C = a \sqrt{2}

.
Do

S A ⊥ (A B C D) \Rightarrow S A ⊥ A C

. Vậy

A

nhìn đoạn

S C

dưới một góc vuông.
Ta lại có:

\{\begin{cases} C D ⊥ A D \\ C D ⊥ S A (D o S A ⊥ (A B C D)) \end{cases} \Rightarrow C D ⊥ S D

. Vậy

D

nhìn đoạn

S C

dưới một góc vuông.
Tương tự

B

cũng nhìn đoạn

S C

dưới một góc vuông. Vậy mặt cầu ngoại tiếp khối chóp

S . A B C D

có tâm là

I

và bán kính

R = \frac{S C}{2} = \frac{\sqrt{S A^{2} + A C^{2}}}{2} = \frac{\sqrt{6 a^{2} + 2 a^{2}}}{2} = \frac{2 a \sqrt{2}}{2} = a \sqrt{2}

.
Diện tích mặt cầu cần tìm là:

S = 4 π R^{2} = 4 π {(a \sqrt{2})}^{2} = 8 π a^{2}

Vậy đáp án đúng là B.

Câu hỏi thuộc đề thi sau. Bạn có muốn thi thử?

Làm bài

Câu hỏi Toán học