[2H3-1. 4-3] Trong không gian với hệ trục tọa độ $O x y z$ , cho $4$ điểm $A (2; 4; - 1)$ , $B (1; 4; - 1)$ , $C (2; 4; 3)$ , $D (2; 2; - 1)$ , biết $M (x; y; z)$ để $M A^{2} + M B^{2} + M C^{2} + M D^{2}$ đạt giá trị nhỏ nhất thì $x + y + z$ bằng

6

\frac{21}{4}

8

9

Đáp án và lời giải

Đáp án:B

Lời giải:Lời giải
Xét điểm

I (a; b; c)

thỏa mãn

\vec{I A} + \vec{I B} + \vec{I C} + \vec{I D} = \vec{0}

. Khi đó

I (\frac{7}{4}; \frac{7}{2}; 0)

.
Ta có

M A^{2} + M B^{2} + M C^{2} + M D^{2}

= {(\vec{M I} + \vec{I A})}^{2} + {(\vec{M I} + \vec{I B})}^{2} + {(\vec{M I} + \vec{I C})}^{2} + {(\vec{M I} + \vec{I D})}^{2}

= 4 M I^{2} + 2 \vec{M I} (\vec{I A} + \vec{I B} + \vec{I C} + \vec{I D}) + I A^{2} + I B^{2} + I C^{2} + I D^{2}

= 4 M I^{2} + I A^{2} + I B^{2} + I C^{2} + I D^{2} \geq I A^{2} + I B^{2} + I C^{2} + I D^{2}

( vì

M I^{2} \geq 0

với mọi điểm

M

)
Dấu

" = "

xảy ra

\Leftrightarrow M \equiv I

tức là

M (\frac{7}{4}; \frac{7}{2}; 0) \Rightarrow x + y + z = \frac{7}{4} + \frac{7}{2}

= \frac{21}{4}

Câu hỏi thuộc đề thi sau. Bạn có muốn thi thử?

Làm bài

Câu hỏi Toán học