Cho $a, b, c$ là các số thực dương và thỏa mãn $a . b . c = 1$ . Biết rằng biểu thức $P = \frac{2 b + 3 a}{\sqrt{b^{2} - a b + 5 a^{2}}} + \frac{2 c + 3 b}{\sqrt{c^{2} - b c + 5 b^{2}}}$ đạt giá trị lớn nhất tại $a_{0}, b_{0}, c_{0}$ . Tính $a_{0} + b_{0} + c_{0} .$

\frac{21}{4}

\frac{777}{184}

\frac{489}{136}

3

Đáp án và lời giải

Đáp án:B

Lời giải:Lời giải
Chọn B
Ta có

P = \frac{2 \frac{b}{a} + 3}{\sqrt{{(\frac{b}{a})}^{2} - \frac{b}{a} + 5}} + \frac{2 \frac{c}{b} + 3}{\sqrt{{(\frac{c}{b})}^{2} - \frac{c}{b} + 5}}

.
Xét hàm số

y = f (x) = \frac{{(2 x + 3)}^{2}}{x^{2} - x + 5}

trên

D = (0; + \infty)

y^{'} = \frac{- 16 x^{2} + 22 x + 69}{{(x^{2} - x + 5)}^{2}}

y^{'} = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = - \frac{2}{3} (l) \\ x = \frac{23}{8} \end{array}

Dựa vào bảng biến thiên ta có

P = \sqrt{f (\frac{b}{a})} + \sqrt{f (\frac{c}{b})} \leq 2 \sqrt{\frac{140}{19}}

\max P = 2 \sqrt{\frac{140}{19}} \Leftrightarrow \{\begin{cases} \frac{b}{a} = \frac{c}{b} = \frac{23}{8} \\ a b c = 1 \end{cases} \Leftrightarrow a = \frac{8}{23}, b = 1, c = \frac{23}{8}

.
Vậy

a_{0} + b_{0} + c_{0} = \frac{777}{184}

Vậy đáp án đúng là B.

Bạn có muốn?

Xem thêm

Câu hỏi