Cho cấp số nhân $(u_{n}^{})$ có số hạng đầu $u_{1}^{} = a$ và công bội $q = b$ . Có bao nhiêu cặp số nguyên dương $(a; b)$ sao cho $\log_{8}^{} u_{1}^{} + \log_{8}^{} u_{2}^{} + . . . + \log_{8}^{} u_{12}^{} = 2006$ ?

46

91

45

90

Đáp án và lời giải

Đáp án:A

Lời giải:Lời giải
Chọn A
Có

u_{n}^{} = b^{n - 1} u_{1}^{} = b^{u - 1} a

, vậy ta có:

\log_{8}^{} u_{1}^{} + \log_{8}^{} u_{2}^{} + . . . + \log_{8}^{} u_{12}^{} = \log_{8}^{} (a) + \log_{8}^{} (a b) + . . . + \log_{8}^{} (a b^{11})

= \log_{8}^{} (a . a b . a b^{2} . . . a b^{11}) = \log_{8}^{} (a^{12} b^{66})

.
Và

\log_{8}^{} (a^{12} b^{66}) = 2006 \Leftrightarrow a^{12} b^{66} = 8^{2006}

\Leftrightarrow {(a^{2} b^{11})}^{6} = {(2^{1003})}^{6} \Leftrightarrow a^{2} b^{11} = 2^{1003}

.
Vì vậy:

a = 2^{x}

b = 2^{y}

(x, y \in ℤ^{+})

và

2^{2 x} b^{11 y} = 2^{1003}

\Leftrightarrow 2 x + 11 y = 1003

\Leftrightarrow y = \frac{1003 - 2 x}{11} = 91 - \frac{2 (z - 1)}{11}

.
Do đó:

x - 1 = 11 k \Leftrightarrow x = 11 k + 1 \Leftrightarrow y = 92 - 2 k

.
Do

x

y

\in ℤ^{+}

nên

k \in \{0, . . ., 45\}

. Vậy có

46

cặp số nguyên dương

(a; b)

thỏa mãn.

Câu hỏi thuộc đề thi sau. Bạn có muốn thi thử?

Làm bài

Câu hỏi Toán học