Cho dãy số $(a_{n})$ xác định bởi $a_{1} = 5, a_{n + 1} = q . a_{n} + 3$ với mọi $n \geq 1,$ trong đó $q$ là hằng số, $a \neq 0, q \neq 1.$ Biết công thức số hạng tổng quát của dãy số viết được dưới dạng $a_{n} = α . q^{n - 1} + β \frac{1 - q^{n - 1}}{1 - q} .$ Tính $α + 2 β ?$

A.13

B.9

C.11

D.16

Đáp án và lời giải

Đáp án:C

Lời giải:Lời giải
Chọn C
Ta có:

a_{n + 1} - k = q (a_{n} - k) \Leftrightarrow k - k q = 3 \Leftrightarrow k = \frac{3}{1 - q}

Đặt

v_{n} = a_{n} - k \Rightarrow v_{n + 1} = q . v_{n} = q^{2} . v_{n - 1} = . . . = q^{n} v_{1}

Khi đó

v_{n} = q^{n - 1} . v_{1} = q^{n - 1} . (a_{1} - k) = q^{n - 1} . (5 - \frac{3}{1 - q})

Vậy

a_{n} = v_{n} + k = q^{n - 1} . (5 - \frac{3}{1 - q}) + k = q^{n - 1} . (5 - \frac{3}{1 - q}) + \frac{3}{1 - q} = 5 q^{n - 1} + 3 \frac{1 - q^{n - 1}}{1 - q}

Do dó:

α = 5; β = 3 \Rightarrow α + 2 β = 5 + 2. 3 = 11

Cách 2.
Theo giả thiết ta có

a_{1} = 5, a_{2} = 5 q + 3.

Áp dụng công thức tổng quát, ta được

\{\begin{cases} a_{1} = α . q^{1 - 1} + β \frac{1 - q^{1 - 1}}{1 - q} = α \\ a_{2} = α . q^{2 - 1} + β \frac{1 - q^{2 - 1}}{1 - q} = α . q + β \end{cases},

suy ra

\{\begin{cases} 5 = α \\ 5 q + 3 = α . q + β \end{cases},

hay

\{\begin{cases} α = 5 \\ β = 3 \end{cases}

\Rightarrow α + 2 β = 5 + 2. 3 = 11

Vậy đáp án đúng là C.

Bạn có muốn?

Xem thêm

Câu hỏi