Cho hàm số $y = \frac{1}{3} x^{3} - 2 m x^{2} + (m - 1) x + 2 m^{2} + 1$ ( $m$ là tham số). Xác định khoảng cách lớn nhất từ gốc tọa độ $O (0; 0)$ đến đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số trên.

\frac{2}{9}

\sqrt{3}

2 \sqrt{3}

\frac{\sqrt{10}}{3}

Đáp án và lời giải

Đáp án:D

Lời giải:Lời giải
Chọn D
Gọi

(C)

là đồ thị của hàm số

y = \frac{1}{3} x^{3} - 2 m x^{2} + (m - 1) x + 2 m^{2} + 1

TXĐ:

D = ℝ

y^{'} = x^{2} - 4 m x + m - 1

.
Hàm số có cực đại, cực tiểu khi và chỉ khi

y^{'} = 0

có hai nghiệm phân biệt

\Leftrightarrow Δ^{'} > 0

\Leftrightarrow 4 m^{2} - m + 1 > 0

luôn đúng với mọi

m

.
Do

y = (\frac{x}{3} - \frac{2 m}{3}) . y^{'} + \frac{2}{3} (m - 1 - 4 m^{2}) x + \frac{8 m^{2}}{3} - \frac{2 m}{3} + 1

nên đường thẳng đi qua điểm cực đại, cực tiểu của

(C)

là

(d) : y = \frac{2}{3} (m - 1 - 4 m^{2}) x + \frac{8 m^{2}}{3} - \frac{2 m}{3} + 1

.
Dễ thấy đường thẳng

d

luôn đi qua điểm

I (1; \frac{1}{3})

với mọi

m

Gọi

H

là hình chiếu của điểm

O

trên đường thẳng

d

, khi đó

d (O, d) = O H \leq O I = \sqrt{1^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2}} = \frac{\sqrt{10}}{3}

. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi

H \equiv I

\Leftrightarrow d ⊥ O I

\vec{O I} = (1; \frac{1}{3})

, véc tơ chỉ phương của đường thẳng

d

là

\vec{u_{d}} (1; \frac{2}{3} m - \frac{2}{3} - \frac{8 m^{2}}{3})

.
Vì

d ⊥ O I

\Leftrightarrow \vec{O I} . \vec{u_{d}} = 0

\Leftrightarrow 1 + \frac{2}{9} (m - 1 - 4 m^{2}) = 0

\Leftrightarrow 8 m^{2} - 2 m - 7 = 0

\Leftrightarrow [\begin{array}{l} m = \frac{1 - \sqrt{57}}{8} \\ m = \frac{1 + \sqrt{57}}{8} \end{array}

.
Vậy khoảng cách từ điểm

O (0; 0)

đến đường thẳng qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số trên lớn nhất bằng

\frac{\sqrt{10}}{3}

Vậy đáp án đúng là D.

Câu hỏi thuộc đề thi sau. Bạn có muốn thi thử?

Làm bài

Câu hỏi Toán học