Cho hình lăng trụ đứng $A B C . A' B' C'$ có đáy $A B C$ là tam giác vuông tại $A$ , $\hat{A C B} = 30 °$ , biết góc giữa $B' C$ và mặt phẳng $(A C C' A')$ bằng $α$ thỏa mãn $\sin α = \frac{1}{2 \sqrt{5}}$ . Cho khoảng cách giữa hai đường thẳng $A' B$ và $C C'$ bằng $a \sqrt{3}$ . Tính thể tích $V$ của khối lăng trụ $A B C . A' B' C'$ .

V = a^{3} \sqrt{6}

V = \frac{3 a^{3} \sqrt{6}}{2}

V = a^{3} \sqrt{3}

V = 2 a^{3} \sqrt{3}

Đáp án và lời giải

Đáp án:D

Lời giải:Lời giải
Chọn D

* Ta có:

C C^{'} // A A^{'} \Rightarrow C C^{'} // (A A^{'} B^{'} B)

Mà

A' B \subset (A A' B' B),

nên

d (C C'; A' B) = d (C C'; (A A' B' B)) = C' A' = a \sqrt{3}

* Ta có:

A C = A' C' = a \sqrt{3}; A B = A' B' = a;

Diện tích đáy là

B = d t (A B C) = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{2}

* Dễ thấy

A' B'

(A C C' A')

Góc giữa

B' C

và mặt phẳng

(A C C' A')

là

\hat{B' C A'} = α

\sin α = \frac{A' B'}{B' C} = \frac{1}{2 \sqrt{5}} \Leftrightarrow B' C = 2 a \sqrt{5}

C C' = \sqrt{B' C^{2} - B' C'^{2}} = \sqrt{20 a^{2} - 4 a^{2}} = 4 a

* Thể tích lăng trụ là

V = B . h

với

h = C C'

V = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{2} . 4 a = 2 a^{3} \sqrt{3} .

Câu hỏi thuộc đề thi sau. Bạn có muốn thi thử?

Làm bài

Câu hỏi Toán học