Cho hình trụ có các đáy là hình tròn $O$ và $O'$ , bán kính bằng chiều cao và bằng $a$ . Trên đường tròn đáy tâm $O$ lấy điểm $A$ , trên đường tròn đáy tâm $O'$ lấy điểm $B$ , sao cho góc giữa $A B$ và $O O'$ bằng $45 °$ . Tính thể tích khối tứ diện $O O' A B$ theo $a$ ?

\frac{a^{3} \sqrt{3}}{12}

\frac{a^{3} \sqrt{2}}{12}

\frac{a^{3} \sqrt{3}}{4}

\frac{a^{3} \sqrt{2}}{4}

Đáp án và lời giải

Đáp án:A

Lời giải:Lời giải

Qua

A

ta kẻ

A A'

O O'

với

A' \in (O'; a) .

Suy ra

(\hat{A B, O O'}) = (\hat{A B, A A'}) = \hat{B A A'} = 45 ° .

O O'

vuông góc với hai đáy nên

A A'

vuông góc với hai đáy.
Suy ra:

A A' ⊥ A' B

.
Xét

Δ A A' B

có

\{\begin{cases} A A' B = 90 ° \\ B A A' = 45 ° \\ A A' = a \end{cases}

, ta có:

A' B = A A' \cdot \tan 45 ° = a .

Suy ra

Δ O' A' B

đều cạnh

a .

Qua

B

kẻ

B B'

O O'

với

B' \in (O; a) .

Suy ra lăng trụ

O B' A . O' A' B

là lăng trụ tam giác đều.
Ta có:

V_{O B' A . O' A' B} = V_{B . O O' A} + V_{B . O' A A'} + V_{A . B B' O}

Mà

\{\begin{cases} d (A, (O B' ​ B)) = d (B, (O A A' O')) \\ S_{Δ O A O'} = S_{Δ O' A A'} = S_{Δ O B' B} \end{cases}

.
Suy ra:

V_{B . O O' A} = V_{B . O' A A'} = V_{A . B B' O}

Suy ra:

V_{O B' A . O' A' B} = 3 \cdot V_{B . O' A A'} .

Mặt khác:

S_{Δ O B' A} = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4}

, nên

V_{O B' A . O' A' B} = S_{Δ O B' A} \cdot O O' = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4} \cdot a = \frac{\sqrt{3} a^{3}}{4}

\Rightarrow V_{B . O' A A'} = \frac{\sqrt{3} a^{3}}{4} \cdot \frac{1}{3} = \frac{\sqrt{3} a^{3}}{12} .

Vậy đáp án đúng là A.

Câu hỏi thuộc đề thi sau. Bạn có muốn thi thử?

Làm bài

Câu hỏi Toán học