Cho lăng trụ tam giác $A B C . A' B' C'$ . Gọi $M$ , $N$ , $P$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $A' B'$ , $B C$ , $C C'$ . Mặt phẳng $(M N P)$ chia khối lăng trụ thành hai phần, phần chưa điểm $B$ có thể tích là $V_{1}$ . Gọi $V$ là thể tích khối lăng trụ. Tính tỉ số $\frac{V_{1}}{V}$ .

\frac{49}{144}

\frac{95}{144}

\frac{73}{144}

\frac{49}{95}

Đáp án và lời giải

Đáp án:A

Lời giải:Lời giải
Chọn A

Gọi

K = N P \cap B B'

O = N P \cap B' C'

Q = M O \cap A' C'

H = K M \cap A B

;

I

là trung điểm A'C';

h

h^{'}

lần lượt là chiều cao khối lăng trụ đã cho và khối chóp

K . M O B'

.
Vì

M

N

P

lần lượt là trung điểm của các cạnh

A' B'

B C

C C'

nên ta có:

\begin{array}{l} O C' = C N = \frac{B' C'}{2} = M I = \frac{O B'}{3} \Rightarrow \frac{O Q}{O M} = \frac{1}{2} \end{array}

\frac{P C'}{K B'} = \frac{1}{3} = \frac{K N}{K O} = \frac{K H}{K M}

\frac{P C'}{K B'} = \frac{1}{3} = \frac{K N}{K O} = \frac{K H}{K M}

Suy ra:

\begin{array}{l} S_{O Q C'} = \frac{O C'}{O B'} . \frac{O Q}{O M} . S_{O M B'} = \frac{1}{3} . \frac{1}{2} . S_{O M B'} = \frac{1}{6} S_{O M B'} \Rightarrow S_{M Q C' B'} = S_{O M B'} - S_{O Q C'} = \frac{5}{6} . S_{O M B'} (1) \\ S_{A' M Q} = \frac{A' M}{A' B'} . \frac{A' Q}{A' C'} . S_{A' B' C'} = \frac{1}{2} . \frac{3}{4} . S_{A' B' C'} = \frac{3}{8} S_{A' B' C'} \Rightarrow S_{M Q C' B'} = S_{A' B' C'} - S_{A' M Q} = \frac{5}{8} . S_{A' B' C'} (2) \end{array}

Từ

(1)

và

(2) \Rightarrow S_{O M B'} = \frac{3}{4} S_{A' B' C'}

.
Mặt khác:

\frac{V_{K M O B'}}{V} = \frac{\frac{1}{3} S_{O M B'} . h'}{S_{A' B' C'} . h} = \frac{3}{8}

và

\frac{V_{K H N B}}{V_{K M O B'}} = \frac{K H}{K M} . \frac{K B}{K B'} . \frac{K N}{K O} = {(\frac{1}{3})}^{3} = \frac{1}{27}

\frac{V_{O Q P C'}}{V_{K M O B'}} = \frac{O C'}{O B'} . \frac{O Q}{O M} . \frac{O P}{O K} = \frac{1}{3} . \frac{1}{2} . \frac{1}{3} = \frac{1}{18}

Vậy:

V_{1} = V_{K M O B'} - V_{K H N B} - V_{O Q P C'} = \frac{49}{54} V_{K M O B'} = \frac{49}{54} . \frac{3}{8} V = \frac{49}{144} V \Rightarrow \frac{V_{1}}{V} = \frac{49}{144}

Câu hỏi thuộc đề thi sau. Bạn có muốn thi thử?

Làm bài

Câu hỏi Toán học