Cho phương trình $m \ln^{2} (x + 1) - (x + 2 - m) \ln (x + 1) - x - 2 = 0 (1) .$ Tập hợp tất cả các giá trị của tham số $m$ để phương trình $(1)$ có hai nghiệm phân biệt thoả mãn $0 < x_{1} < 2 < 4 < x_{2}$ là khoảng $(a; + \infty)$ . Khi đó $a$ thuộc khoảng

(3, 8; 3, 9)

(3, 6; 3, 7)

(3, 7; 3, 8)

(3, 5; 3, 6)

Đáp án và lời giải

Đáp án:C

Lời giải:Lời giải
Chọn C
Điều kiện:

x > - 1.

Vì

x = 0

không thỏa mãn phương trình nên ta có

(1) \Leftrightarrow [m \ln (x + 1) - x - 2] [\ln (x + 1) + 1] = 0

\Leftrightarrow [\begin{array}{l} m \ln (x + 1) = x + 2 \\ \ln (x + 1) = - 1 \end{array}

\Leftrightarrow [\begin{array}{l} m = \frac{x + 2}{\ln (x + 1)}, (2) \\ x = \frac{1}{e} - 1 \end{array}

.
Do nghiệm

x = \frac{1}{e} - 1 < 0

nên phương trình

(1)

có hai nghiệm thoả mãn

0 < x_{1} < 2 < 4 < x_{2}

khi và chỉ khi phương trình

(2)

có hai nghiệm phân biệt sao cho

0 < x_{1} < 2 < 4 < x_{2}

.
Xét hàm số

f (x) = \frac{x + 2}{\ln (x + 1)}

trên khoảng

(0; + \infty)

ta có

f^{'} (x) = \frac{\ln (x + 1) - \frac{x + 2}{x + 1}}{\ln^{2} (x + 1)}

f^{'} (x) = 0 \Leftrightarrow \ln (x + 1) - \frac{x + 2}{x + 1} = 0

(3)

.
Xét hàm số

h (x) = \ln (x + 1) - \frac{x + 2}{x + 1}

có

h^{'} (x) = \frac{1}{x + 1} + \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} > 0

\forall x > 0

nên

h (x)

đồng biến trên

(0; + \infty)

do đó phương trình

f^{'} (x) = 0

có không quá một nghiệm.
Mà

f^{'} (2) . f^{'} (4) < 0

và

f^{'} (x)

là hàm số liên tục trên

[2; 4]

suy ra phương trình

(3)

có duy nhất một nghiệm

x_{0} \in (2; 4)

. Từ đó ta có bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên ta có phương trình

(1)

có hai nghiệm phân biệt thoả mãn

0 < x_{1} < 2 < 4 < x_{2}

khi và chỉ khi

m > \frac{6}{\ln 5} \Leftrightarrow m \in (\frac{6}{\ln 5}; + \infty)

. Vậy

a = \frac{6}{\ln 5} \in (3, 7; 3, 8)

Câu hỏi thuộc đề thi sau. Bạn có muốn thi thử?

Làm bài

Câu hỏi Toán học