Cho tam giác $O A B$ đều cạnh $a$ . Trên đường thẳng $d$ qua $O$ và vuông góc với mặt phẳng $(O A B)$ lấy điểm $M$ sao cho $O M = x$ . Gọi $E, F$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $A$ trên $M B$ và $O B$ . Gọi $N$ là giao điểm của $E F$ và $d$ . Tìm $x$ để thể tích tứ diện $A B M N$ có giá trị nhỏ nhất.

x = a \sqrt{2} .

x = \frac{a \sqrt{2}}{2} .

x = \frac{a \sqrt{3}}{2} .

x = \frac{a \sqrt{6}}{12} .

Đáp án và lời giải

Đáp án:B

Lời giải:Lời giải. Do tam giác

O A B

đều cạnh

a,

suy ra

F

là trung điểm

O B \Rightarrow O F = \frac{a}{2} .

Ta có

\{\begin{cases} A F ⊥ O B \\ A F ⊥ M O \end{cases} \Rightarrow A F ⊥ (M O B) \Rightarrow A F ⊥ M B .

Lại có

M B ⊥ A E

nên suy ra

M B ⊥ (A E F) \Rightarrow M B ⊥ E F .

Suy ra

Δ O B M ∽ Δ O N F

nên

\frac{O B}{O M} = \frac{O N}{O F} \overset{}{\to} O N = \frac{O B . O F}{O M} = \frac{a^{2}}{2 x} .

Ta có

V_{A B M N} = V_{A B O M} + V_{A B O N}

= \frac{1}{3} S_{Δ O A B} (O M + O N) = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{12} (x + \frac{a^{2}}{2 x}) \geq \frac{a^{3} \sqrt{6}}{12} .

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

x = \frac{a^{2}}{2 x} \Leftrightarrow x = \frac{a \sqrt{2}}{2}

. Chọn B

Bạn có muốn?

Xem thêm

Câu hỏi