[DS12. C1. 3. D12. c] Cho các số thực $x$ , $y$ thay đổi nhưng luôn thỏa mãn $3 x^{2} - 2 x y - y^{2} = 5$ . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P = x^{2} + x y + 2 y^{2}$ thuộc khoảng nào dưới đây?

(4; 7)

(- 2; 1)

(1; 4)

(7; 10)

Đáp án và lời giải

Đáp án:C

Lời giải:Lời giải
Chọn C
Ta có

P - \frac{5}{4} = P - \frac{1}{4} . 5 = (x^{2} + x y + 2 y^{2}) - \frac{1}{4} (3 x^{2} - 2 x y - y^{2}) = {(\frac{x}{2} + \frac{3 y}{2})}^{2} \geq 0

\forall x, y \in ℝ

.
Suy ra

P \geq \frac{5}{4}

.
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi

\{\begin{cases} \frac{x}{2} + \frac{3 y}{2} = 0 \\ 3 x^{2} - 2 x y - y^{2} = 5 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = - 3 y \\ 32 y^{2} = 5 \end{cases}

\Leftrightarrow (x; y) = (\frac{- 3 \sqrt{10}}{8}; \frac{\sqrt{10}}{8})

hoặc

(x; y) = (\frac{3 \sqrt{10}}{8}; \frac{- \sqrt{10}}{8})

.
Vậy giá trị nhỏ nhất của

P

bằng

\frac{5}{4}

Câu hỏi thuộc đề thi sau. Bạn có muốn thi thử?

Làm bài

Câu hỏi Toán học