[DS12. C2. 6. D07. d] Cho phương trình $\sqrt{\log_{3}^{2} x - 4 \log_{3} x - 5} = m (\log_{3} x + 1)$ với $m$ là tham số thực. Tìm tất cả các giá trị của $m$ để phương trình có nghiệm thuộc $[27; + \infty)$ .

0 < m < 2

0 < m \leq 2

0 \leq m \leq 1

0 \leq m < 1

Đáp án và lời giải

Đáp án:D

Lời giải:Lời giải
Chọn D
Đặt

t = \log_{3} x

, với

x \geq 27 \Rightarrow t \geq 3

.
Phương trình trở thành

\sqrt{t^{2} - 4 t - 5} = m (t + 1) .

(*)

Điều kiện xác định:

[\begin{array}{l} t \leq - 1 \\ t \geq 5 \end{array}

.
+) Với

m < 0

thì phương trình vô nghiệm, do

\{\begin{cases} \sqrt{t^{2} - 4 t - 5} \geq 0 \\ t + 1 > 0 \end{cases}, \forall t \geq 5.

+) Với

m = 0

, ta có

\sqrt{t^{2} - 4 t - 5} = 0 \Leftrightarrow

[\begin{array}{l} t = - 1 (l o a ï i) \\ t = 5 (t h o û a m a õ n) \end{array} .

+) Với

m > 0

thì

(*) \Leftrightarrow t^{2} - 4 t - 5 = m^{2} {(t + 1)}^{2}

\Leftrightarrow (1 - m^{2}) t^{2} - (2 m^{2} + 4) t - 5 - m^{2} = 0

. (**)
Nếu

m = 1 \Rightarrow t = - 1

không thỏa mãn.
Nếu

m \neq 1

, ta có (**)

\Leftrightarrow (t + 1) [(1 - m^{2}) t - m^{2} - 5] = 0 \Leftrightarrow

[\begin{array}{l} t = - 1 (l o a ï i) \\ t = \frac{m^{2} + 5}{1 - m^{2}} \end{array}

.
Do đó, phương trình đã cho có nghiệm

\Leftrightarrow \frac{m^{2} + 5}{1 - m^{2}} \geq 5 \Leftrightarrow \frac{6 m^{2}}{1 - m^{2}} \geq 0 \Leftrightarrow - 1 < m < 1

, kết hợp

m > 0

suy ra

0 < m < 1

.
Vậy với

0 \leq m < 1

thì phương trình đã cho có nghiệm thuộc

[27; + \infty)

Bạn có muốn?

Xem thêm

Câu hỏi