[ Mức 4] Cho các số thực $x, y, a, b$ thỏa mãn điều kiện $x > 1, y > 1, a > 0, b > 0$ , $x + y = x y$ . Biết rằng biểu thức $P = \frac{y a^{x} + x b^{y}}{a b x y}$ đạt giá trị nhỏ nhất $m$ khi $a = b^{q}$ . Khẳng định nào sau đây đúng ?

m + \frac{1}{q} = \frac{y}{y - 1}

m + \frac{1}{q} = \frac{x}{x - 1}

m + \frac{1}{q} = \frac{y - 1}{y}

m + \frac{1}{q} = y

Đáp án và lời giải

Đáp án:A

Lời giải:Lời giải
Chọn A
Ta có

P = \frac{a^{x - 1}}{b x} + \frac{b^{y - 1}}{a y} = f (a)

, suy ra

f^{'} (a) = \frac{x - 1}{b x} a^{x - 2} - \frac{b^{y - 1}}{y a^{2}} = 0 \Leftrightarrow a^{x} = b^{y} \Leftrightarrow x . \ln a = y . \ln b

\Leftrightarrow \ln a = \frac{y}{x} \ln b \Leftrightarrow a = b^{\frac{y}{x}} \Leftrightarrow a = b^{y - 1}

f (b^{y - 1}) = 1

\lim_{a \to 0^{+}} f (a) = + \infty, \lim_{a \to + \infty} f (a) = + \infty

Ta có BBT

Từ BBT

\Rightarrow \min P = 1

, đạt được khi

a = b^{y - 1}

.
Do đó

m = 1, q = y - 1 \Rightarrow m + \frac{1}{q} = \frac{y}{y - 1}

Câu hỏi thuộc đề thi sau. Bạn có muốn thi thử?

Làm bài

Câu hỏi Toán học