Xét các số thực $a$ , $b$ , $c \neq 0$ thỏa mãn $3^{a} = 5^{b} = 15^{- c}$ . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P = a^{2} + b^{2} + c^{2} - 4 (a + b + c)$ thuộc tập hợp nào dưới đây?

(- 1; 2)

[- 5; - 1)

[2; 4)

[4; 6)

Đáp án và lời giải

Đáp án:B

Lời giải:Lời giải
Chọn B
Đặt

3^{a} = 5^{b} = 15^{- c} = t > 0 \Rightarrow \{\begin{cases} a = \log_{3} t \\ b = \log_{5} t \\ c = - \log_{15} t \end{cases}

. Khi đó

P = \log_{3}^{2} t + \log_{5}^{2} t + \log_{15}^{2} t - 4 (\log_{3} t + \log_{5} t - \log_{15} t)

= X^{2} (1 + \log_{5}^{2} 3 + \log_{15}^{2} 3) - 4 X (1 + \log_{5} 3 - \log_{15} 3)

, (với

X = \log_{3} t

)

P_{\min} = P (\frac{2 (1 + \log_{5} 3 - \log_{15} 3)}{1 + \log_{5}^{2} 3 + \log_{15}^{2} 3}) = - 4

,
khi

\log_{3} t = \frac{2 (1 + \log_{5} 3 - \log_{15} 3)}{1 + \log_{5}^{2} 3 + \log_{15}^{2} 3} \Rightarrow t = 3^{\frac{2 (1 + \log_{5} 3 - \log_{15} 3)}{1 + \log_{5}^{2} 3 + \log_{15}^{2} 3}}

Suy ra

\begin{array}{l} a = \frac{2 (1 + \log_{5} 3 - \log_{15} 3)}{1 + \log_{5}^{2} 3 + \log_{15}^{2} 3} \\ b = \log_{5} 3^{\frac{2 (1 + \log_{5} 3 - \log_{15} 3)}{1 + \log_{5}^{2} 3 + \log_{15}^{2} 3}} \\ c = - \log_{15} 3^{\frac{2 (1 + \log_{5} 3 - \log_{15} 3)}{1 + \log_{5}^{2} 3 + \log_{15}^{2} 3}} \end{array}

.
Phương án A: học sinh hiểu sai về giá trị nhỏ nhất của

P

lúc này là

0

.
Phương án C: học sinh lấy hoành độ đỉnh Prabol bị sai công thức.

X = \frac{1 + \log_{5} 3 - \log_{15} 3}{1 + \log_{5}^{2} 3 + \log_{15}^{2} 3}

Phương án D: học sinh lấy hoành độ đỉnh Prabol bị sai dấu.

X = \frac{- 2 (1 + \log_{5} 3 - \log_{15} 3)}{1 + \log_{5}^{2} 3 + \log_{15}^{2} 3}

Câu hỏi thuộc đề thi sau. Bạn có muốn thi thử?

Làm bài

Câu hỏi Toán học