[Mức độ 3] Tính tổng tất cả các nghiệm của phương trình $x + 1 = 2 \log_{2} (2^{x} + 3) - \log_{2} (2020 - 2^{1 - x})$ .

\log_{2} 2020

13

\log_{2} 13

2020

Đáp án và lời giải

Đáp án:C

Lời giải:Lời giải
Điều kiện:

2020 - 2^{1 - x} > 0

\Leftrightarrow

x > \log_{2} \frac{1}{1010}

(*)

x + 1 = 2 \log_{2} (2^{x} + 3) - \log_{2} (2020 - 2^{1 - x})

\Leftrightarrow

x + 1 = \log_{2} {(2^{x} + 3)}^{2} - \log_{2} (\frac{{2020. 2}^{x} - 2}{2^{x}})

\Leftrightarrow

\log_{2} \frac{{(2^{x} + 3)}^{2}}{{4040. 2}^{x} - 4} = 0

\Leftrightarrow

\frac{{(2^{x} + 3)}^{2}}{{4040. 2}^{x} - 4} = 1

\Leftrightarrow

2^{2 x} - {4034. 2}^{x} + 13 = 0

(1)

Đặt

t = 2^{x}, (t > 0)

(1)

trở thành:

t^{2} - 4034. t + 13 = 0

(2)

Ta thấy

(2)

có 2 nghiệm phân biệt

t_{1}, t_{2}

thỏa

\frac{1}{1010} < t_{1} < t_{2}

.
Do đó

(1)

có 2 nghiệm phân biệt

x_{1}, x_{2}

thỏa

(*)

.
Ta có:

t_{1} . t_{2} = 13 \Rightarrow 2^{x_{1}} {. 2}^{x_{2}} = 13 \Leftrightarrow 2^{x_{1} +}^{x_{2}} = 13 \Leftrightarrow x_{1} + x_{2} = \log_{2} 13

Câu hỏi thuộc đề thi sau. Bạn có muốn thi thử?

Làm bài

Câu hỏi Toán học