[ Mức độ 4] Cho các số thực $x, y$ thỏa mãn $\ln y \geq \ln (x^{3} + 2) - \ln 3$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $H = e^{4 y - x^{3} - x - 2} - \frac{x^{2} + y^{2}}{2} + x (y + 1) - y$

0

\frac{1}{e}

1

e

Đáp án và lời giải

Đáp án:C

Lời giải:Lời giải
Có:

\ln y \geq \ln (x^{3} + 2) - \ln 3 \Leftrightarrow \{\begin{matrix} x^{3} + 2 > 0 \\ 3 y \geq x^{3} + 2 \end{matrix} \Leftrightarrow \{\begin{matrix} x > - \sqrt[3]{2} \\ 4 y \geq x^{3} + 2 + y \end{matrix} \Leftrightarrow \{\begin{matrix} x > - \sqrt[3]{2} \\ 4 y - x^{3} - x - 2 \geq y - x \end{matrix}

.
Ta có:

H = e^{4 y - x^{3} - x - 2} - \frac{x^{2} + y^{2}}{2} + x (y + 1) - y = e^{4 y - x^{3} - x - 2} - \frac{{(y - x)}^{2} + 2 x y}{2} + x y - (y - x)

H \geq e^{y - x} - \frac{{(y - x)}^{2}}{2} - (y - x)

.
Đặt

t = y - x

, ta có

t \geq \frac{x^{3} + 2}{3} - x = \frac{x^{3} - 3 x + 2}{3} = \frac{(x - 1) (x^{2} + x - 2)}{3} = \frac{{(x - 1)}^{2} (x + 2)}{3} \geq 0

\forall x > - \sqrt[3]{2}

Khi đó

H \geq e^{t} - \frac{t^{2}}{2} - t

.
Xét

T (t) = e^{t} - t - \frac{1}{2} t^{2}

với

t \geq 0

Có:

T^{'} (t) = e^{t} - t - 1

;

T^{″} (t) = e^{t} - 1

,
Ta thấy

T^{″} (t) = e^{t} - 1 \geq 0 \forall t \in [0; + \infty)

;

T^{″} (t) = 0 \Leftrightarrow t = 0

\Rightarrow T^{'} (t)

đồng biến trên nửa khoảng

[0; + \infty)

\Rightarrow T^{'} (t) \geq T^{'} (0)

\forall t \in [0; + \infty)

\Rightarrow T (t)

đồng biến trên nửa khoảng

[0; + \infty)

\Rightarrow \underset{[0; + \infty)}{M i n T =} T (0) = 1 \Rightarrow H \geq 1

; dấu bằng xảy ra khi

x = y = 1

\Rightarrow

Giá trị nhỏ nhất của

H

là

1

Câu hỏi thuộc đề thi sau. Bạn có muốn thi thử?

Làm bài

Câu hỏi Toán học