Sử dụng mảnh inox hình chữ nhật $A B C D$ có diện tích bằng $1 m^{2}$ và cạnh $B C = x$ $(m)$ để làm một thùng đựng nước có đáy, không có nắp theo quy trình như sau: Chia hình chữ nhật $A B C D$ thành hai hình chữ nhật $A D N M$ và $B C N M$ , trong đó phần hình chữ nhật $A D N M$ được gò thành phần xung quanh hình trụ có chiều cao bằng $A M$ ; phần hình chữ nhật $B C N M$ được cắt ra một hình tròn để làm đáy của hình trụ trên . Tính gần đúng giá trị $x$ để thùng nước trên có thể tích lớn nhất .

1, 37 m

1, 02 m

0, 97 m

1 m

Đáp án và lời giải

Đáp án:B

Lời giải:Lời giải
Chọn B
Ta có

A B . B C = 1

\Rightarrow

A B = \frac{1}{B C} = \frac{1}{x}

(m)

.
Gọi

R

(m)

là bán kính đáy hình trụ inox gò được, ta có chu vi hình tròn đáy bằng

B C = x

(m)

.
Do đó

2 π R = x

\Leftrightarrow

R = \frac{x}{2 π}

(m)

;

B M = 2 R = \frac{x}{π}

\Rightarrow

A M = A B - B M = \frac{1}{x} - \frac{x}{π}

(m)

.
Thể tích khối trụ inox gò được là

V = π R^{2} h = π . {(\frac{x}{2 π})}^{2} . (\frac{1}{x} - \frac{x}{π}) = \frac{1}{4 π^{2}} x (π - x^{2})

.
Xét hàm số

f (x) = x (π - x^{2})

(x > 0)

\Rightarrow

f^{'} (x) = π - 3 x^{2}

f^{'} (x) = 0

\Rightarrow

x = \sqrt{\frac{π}{3}}

;

f^{'} (x) > 0

\Leftrightarrow

x \in (0; \sqrt{\frac{π}{3}})

và

f^{'} (x) < 0

\Leftrightarrow

x \in (\sqrt{\frac{π}{3}}; + \infty)

.
Vậy

f (x)

đồng biến trên khoảng

(0; \sqrt{\frac{π}{3}})

và nghịch biến trên khoảng

(\sqrt{\frac{π}{3}}; + \infty)

.
Suy ra

\max_{(0; + \infty)} f (x) = f (\sqrt{\frac{π}{3}}) = \frac{2 π \sqrt{3 π}}{9}

.
Từ đó ta có thể tích

V

lớn nhất khi và chỉ khi

f (x)

lớn nhất

\Leftrightarrow

x = \sqrt{\frac{π}{3}} \approx 1, 02

(m)

Vậy đáp án đúng là B.

Câu hỏi thuộc đề thi sau. Bạn có muốn thi thử?

Làm bài

Câu hỏi Toán học