Trong không gian $O x y z$ , cho điểm $A (1; 1; 2)$ và mặt phẳng $(P) : (m - 1) x + y + m z - 1 = 0$ , với $m$ là tham số. Biết khoảng cách từ điểm $A$ đến mặt phẳng $(P)$ lớn nhất. Khẳng định đúng trong bốn khẳng định dưới đây là

2 < m < 6

m > 6

- 2 < m < 2

- 6 < m < 2

Đáp án và lời giải

Đáp án:A

Lời giải:Lời giải
Chọn A
Cách 1:
Ta có

d (A; (P)) = \frac{|m - 1 + 1 + 2 m - 1|}{\sqrt{{(m - 1)}^{2} + 1 + m^{2}}} = \sqrt{\frac{{(3 m - 1)}^{2}}{2 (m^{2} - m + 1)}}

.
Xét

f (m) = \frac{{(3 m - 1)}^{2}}{2 (m^{2} - m + 1)} \Rightarrow f^{'} (m) = \frac{(5 - m) (3 m - 1)}{2 {(m^{2} - m + 1)}^{2}} = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} m = \frac{1}{3} \\ m = 5 \end{array}

Vậy

\max d (A; (P)) = \sqrt{\frac{14}{3}}

khi

m = 5 \in (2; 6)

.
Cách 2:
Ta đi tìm đối tượng cố định của mặt phẳng

(P)

(P) : (m - 1) x + y + m z - 1 = 0 \Leftrightarrow (x + z) m - x + y - 1 = 0

.
Với mọi

m \in ℝ

mặt phẳng

(P)

luôn đi qua giao tuyến của hai mặt phẳng

\{\begin{cases} x + z = 0 \\ - x + y - 1 = 0 \end{cases}

tức luôn đi qua đường thẳng

(d) : \{\begin{cases} x = t \\ y = 1 + t \\ z = - t \end{cases}

.
Gọi

H (t; 1 + t; - t) \in (d) \Rightarrow \vec{A H} = (t - 1; t; - t - 2)

. Để khoảng cách từ

A

đến

(P)

lớn nhất thì

A H ⊥ (P) \Rightarrow \vec{A H}

cùng phương với VTPT của

(P)

là

{\vec{n}}_{P} = (m - 1; 1; m)

, suy ra:

+ \infty

Vậy đáp án đúng là A.

Bạn có muốn?

Xem thêm

Câu hỏi