Trong không gian $O x y z$ , cho mặt cầu $(S) : {(x - 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} + {(z - 3)}^{2} = 25$ và điểm $M (4; 6; 3)$ . Qua $M$ kẻ các tia $M x, M y, M z$ đôi một vuông góc với nhau và cắt mặt cầu tại các điểm thứ hai tương ứng là $A, B, C$ . Biết mặt phẳng $(A B C)$ luôn đi qua một điểm cố định $H (a; b; c)$ . Tính $a + 3 b - c$ .

9

14

11

20

Đáp án và lời giải

Đáp án:A

Lời giải:Lời giải
Chọn A

Mặt cầu

(S)

có tâm là

I (1; 2; 3)

. Ta thấy điểm

M (4; 6; 3)

nằm trên mặt cầu

(S)

. Dựng hình hộp chữ nhật

M B D C . A B^{'} D^{'} C^{'}

khi đó

I

là tâm của hình hộp. Gọi

O

là tâm của hình chữ nhật

M B D C

. Trong mặt phẳng

(A M D D^{'})

gọi

H

là giao điểm của

I M

và

A O

khi đó

H \in (A B C)

. Ta có

Δ H O I

đồng dạng với

Δ H A M

nên

\frac{H M}{H I} = \frac{A M}{O I} = 2

. Do đó

\vec{M H} = \frac{2}{3} \vec{M I}

nên

H

cố định. Đồng thời ta có

\vec{M I} = (- 3; - 4; 0), \vec{M H} = (a - 4; b - 6; c - 3)

nên

\vec{M H} = \frac{2}{3} \vec{M I} \Leftrightarrow \{\begin{cases} a - 4 = - 2 \\ b - 6 = - \frac{8}{3} \\ c - 3 = 0 \end{cases}

\Leftrightarrow \{\begin{cases} a = 2 \\ b = \frac{10}{3} \\ c = 3 \end{cases} .

Vậy

a + 3 b - c = 9

Vậy đáp án đúng là A.

Bạn có muốn?

Xem thêm

Câu hỏi