Trong không gian , cho mặt cầu: . Có tất cả bao nhiêu điểm là các số nguyên) thuộc mặt phẳng sao cho có ít nhất hai tiếp tuyến của đi qua và hai tiếp tuyến đó vuông góc nhau?
A. .
B. .
C. .
D. .
Đáp án và lời giải
Đáp án:A
Lời giải:Lời giải
Chọn A
Mặt cầu có tâm và có bán kính
, Gọi là trung điểm của
Gọi lần lượt là hai tiếp điểm của tiếp tuyến đi qua sao cho .
Ta có: cùng thuộc mặt cầu đường kính có tâm , bán kính .
Đề tồn tại thì hai mặt cầu và phải cắt nhau suy ra
Gọi là hình chiếu của trên khi đó tứ giác là hình vuông có cạnh .
Ta có
Từ và ta có mà nên có điểm thỏa bài toán.
Cách khác:
Mặt cầu có tâm bán kính . Ta có mặt cầu cắt mặt phẳng . Để có tiếp tuyến của đi qua .
Có .
Quỹ tích các tiếp tuyến đi qua của là một mặt nón nếu và là một mặt phẳng nếu .
Trong trường hợp quỹ tích các tiếp tuyến đi qua của là một mặt nón gọi là hai tiếp tuyến sao cho đồng phẳng.
Tồn tại ít nhất hai tiếp tuyến của đi qua và hai tiếp tuyến đó vuông góc với nhau khi và chỉ khi .
Từ . Vì
hoặc hoặc hoặc hoặc hoặc hoặc .
Bốn hệ phương trình đầu tiên có hai nghiệm, ba hệ sau có 4 nghiệm suy ra số điểm thỏa mãn là .
Chọn A
Mặt cầu có tâm và có bán kính
, Gọi là trung điểm của
Gọi lần lượt là hai tiếp điểm của tiếp tuyến đi qua sao cho .
Ta có: cùng thuộc mặt cầu đường kính có tâm , bán kính .
Đề tồn tại thì hai mặt cầu và phải cắt nhau suy ra
Gọi là hình chiếu của trên khi đó tứ giác là hình vuông có cạnh .
Ta có
Từ và ta có mà nên có điểm thỏa bài toán.
Cách khác:
Mặt cầu có tâm bán kính . Ta có mặt cầu cắt mặt phẳng . Để có tiếp tuyến của đi qua .
Có .
Quỹ tích các tiếp tuyến đi qua của là một mặt nón nếu và là một mặt phẳng nếu .
Trong trường hợp quỹ tích các tiếp tuyến đi qua của là một mặt nón gọi là hai tiếp tuyến sao cho đồng phẳng.
Tồn tại ít nhất hai tiếp tuyến của đi qua và hai tiếp tuyến đó vuông góc với nhau khi và chỉ khi .
Từ . Vì
hoặc hoặc hoặc hoặc hoặc hoặc .
Bốn hệ phương trình đầu tiên có hai nghiệm, ba hệ sau có 4 nghiệm suy ra số điểm thỏa mãn là .
Vậy đáp án đúng là A.