Trong mặt phẳng $(P)$ cho tam giác $O A B$ đều có cạnh bẳng $5$ . Trên đường thẳng $Δ$ vuông góc với $(P)$ tại $O$ lấy điểm $C$ sao cho $O C = x .$ Gọi $E, F$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $A$ trên $B C$ và $O B$ . Đường thẳng $E F$ và đường thẳng $Δ$ cắt nhau tại $D$ . Thể tích khối tứ diện $A B C D$ đạt giá trị nhỏ nhất khi $x = \frac{a \sqrt{2}}{b}$ với $\frac{a}{b}$ là phân số tối giản. Tính $T = a + 3 b .$

T = 14

T = 11

17

T = 8

Đáp án và lời giải

Đáp án:B

Lời giải:Lời giải
Chọn B

Ta có:

V_{A B C D} = V_{C O A B} + V_{D O A B} = \frac{1}{3} C O . S_{Δ O A B} + \frac{1}{3} D O . S_{Δ O A B} = \frac{1}{3} S_{Δ O A B} (x + D O) .

Δ O A B

đều

\Rightarrow E O = E B, A E ⊥ O B

và

Δ ⊥ (P) \Rightarrow A E ⊥ O C \Rightarrow A E ⊥ (O B C) \Rightarrow A E ⊥ B C .

mà

A F ⊥ B C \Rightarrow B C ⊥ (D A F) \Rightarrow B C ⊥ D F .

Ta có:

Δ O E D \sim Δ F E B

(

d o \hat{O} = \hat{F} = \frac{π}{2}; \hat{E} = \hat{F}

đối đỉnh)

\Rightarrow \frac{O D}{F B} = \frac{O E}{F E} \Leftrightarrow O D = \frac{O E . F B}{F E} (1) .

Ta có:

Δ O B C \sim Δ F B E

(

d o \hat{O} = \hat{F} = \frac{π}{2}; \hat{B}

chung)

\Rightarrow \frac{O B}{F B} = \frac{O C}{F E} \Leftrightarrow \frac{1}{E F} = \frac{O B}{F B . O C} .

Từ

(1) \Rightarrow O D = \frac{O E . O B}{O C} = \frac{25}{2 x} \Rightarrow V_{A B C D} = \frac{25 \sqrt{3}}{12} (x + \frac{25}{2 x}) .

.
Xét hàm số

f (x) = x + \frac{25}{2 x}, x > 0 \Rightarrow f^{'} (x) = 1 - \frac{25}{2 x^{2}}; f^{'} (x) = 0 \Leftrightarrow x = \frac{5 \sqrt{2}}{2} .

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên, ta có:

a = 5, b = 2 \Rightarrow T = 11.

Kết luận:

T = 11.

Bạn có muốn?

Xem thêm

Câu hỏi