Xét các số thực dương $a$ , $b$ , $x$ , $y$ thỏa mãn $a > 1$ , $b > 1$ và $a^{x} = b^{y} = \sqrt{a b}$ . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P = x + 2 y$ thuộc tập hợp nào dưới đây?

$(1; 2)$ .

$[2; \frac{5}{2})$

$[3; 4)$ .

$[\frac{5}{2}; 3)$ .

Đáp án và lời giải

Đáp án:D

Lời giải:

Lời giải
Chọn D
Theo bài ra ta có: $a^{x} = b^{y} = \sqrt{a b}$

$\Leftrightarrow {\begin{cases} a^{x} = a^{\frac{1}{2}} \cdot b^{\frac{1}{2}} \\ b^{y} = a^{\frac{1}{2}} \cdot b^{\frac{1}{2}} \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} a^{x - \frac{1}{2}} = b^{\frac{1}{2}} \\ b^{y - \frac{1}{2}} = a^{\frac{1}{2}} \end{cases}$ $\Leftrightarrow \{\begin{cases} x - \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \log_{a} b \\ y - \frac{1}{2} = \frac{1}{2} . \log_{b} a \end{cases}$
Do đó: $P = x + 2 y$ $= \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \log_{a} b + 1 + \log_{b} a$ $= \frac{3}{2} + \frac{1}{2} \log_{a} b + \log_{b} a$
Đặt $t = \log_{a} b$ . Vì $a$ , $b > 1$ nên $\log_{a} b > \log_{a} 1 = 0$ .
Khi đó $P = \frac{3}{2} + \frac{1}{2} t + \frac{1}{t}$ $\geq \frac{3}{2} + 2 \sqrt{\frac{1}{2} t . \frac{1}{t}} = \frac{3}{2} + \sqrt{2}$ .
Vậy $P$ đạt giá trị nhỏ nhất là $\frac{3}{2} + \sqrt{2}$ khi $t = \sqrt{2}$ hay $b = a^{\sqrt{2}}$ .

Câu hỏi thuộc đề thi sau. Bạn có muốn thi thử?

Bài tập trắc nghiệm 60 phút Bài toán về biến đổi, biểu diễn logarit. - Toán Học 12 - Đề số 10

Làm bài

Câu hỏi Toán học

Xét các số thực dương a , b , x , y thỏa mãn a>1 , b>1 và ax=by=ab . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P=x+2y thuộc tập hợp nào dưới đây?

Bài tập trắc nghiệm 60 phút Bài toán về biến đổi, biểu diễn logarit. - Toán Học 12 - Đề số 10

Chia sẻ

Một số câu hỏi khác cùng bài thi.

Một số câu hỏi khác có thể bạn quan tâm.

Xét các số thực dương $a$ , $b$ , $x$ , $y$ thỏa mãn $a > 1$ , $b > 1$ và $a^{x} = b^{y} = \sqrt{a b}$ . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P = x + 2 y$ thuộc tập hợp nào dưới đây?