02 Trắc nghiệm tích vô hướng của hai véc tơ file word có lời giải chi tiết là tài liệu môn Toán trong chương trình Lớp 12 được cungthi.vn tổng hợp và biên soạn. Tạo nguồn tài liệu giúp các bạn trong việc ôn tập
Những địa chỉ uy tín để bạn mua sách
Nội dung tóm tắt
TÍCH VÔ HƯỚNG VÀ ỨNG DỤNG 2017 – 2018
§2 TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT.
1. Định nghĩa:
a) Góc giữa hai vectơ.
Cho hai vectơ và đều khác . Từ điểm O bất kỳ dựng các vectơ và . Số đo góc được gọi là số đo góc giữa hai vectơ và .
+ Quy ước : Nếu hoặc thì ta xem góc giữa hai vectơ và là tùy ý (từ đến ).
+ Kí hiệu:
b) Tích vô hướng của hai vectơ.
Tích vô hướng của hai véc tơ và là một số thực được xác định bởi: .
2. Tính chất: Với ba véc tơ bất kì và mọi số thực k ta luôn có:
Chú ý: Ta có kết quả sau:
+ Nếu hai véc tơ và khác thì
+ gọi là bình phương vô hướng của véc tơ .
+
3. Công thức hình chiếu và phương tích của một điểm với đường tròn.
a) Công thức hình chiếu.
Cho hai vectơ . Gọi A', B' lần lượt là hình chiếu của A, B lên đường thẳng CD khi đó ta có
b) phương tích của một điểm với đường tròn.
Cho đường tròn và điểm M. Một đường thẳng qua N cắt đường tròn tại hai điểm A và B. Biểu thức được gọi là phương tích của điểm M đối với đường tròn . Kí hiệu là .
Chú ý: Ta có với T là tiếp điểm của tiếp tuyến kẻ từ điểm M
3.Biểu thức tọa độ của tích vô hướng
Cho hai vectơ và . Khi đó
1)
2)
3)
Hệ quả:
+
+ Nếu và thì
B. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI.
DẠNG 1 : Xác định biểu thức tích vô hướng, góc giữa hai vectơ.
1. Phương pháp giải.
Dựa vào định nghĩa
Sử dụng tính chất và các hằng đẳng thức của tích vô hướng của hai vectơ
2. Các ví dụ:
Ví dụ 1: Cho tam giác vuông tại A có và G là trọng tâm.
a) Tính các tích vô hướng: ;
A. , B. ,
C. , D. ,
b) Tính giá trị của biểu thức
A. B.
C. D.
c) Tính giá trị của biểu thức
A. B. C. D.
Bài làm:
(hình 2.2)
a) * Theo định nghĩa tích vô hướng ta có
.
Mặt khác
Nên
* Ta có
Theo định lý Pitago ta có
Suy ra
b) Cách 1: Vì tam giác vuông tại A nên và từ câu a ta có. Suy ra
Cách 2: Từ và hằng đẳng thức
Ta có
c) Tương tự cách 2 của câu b) vì nên
Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB
Dễ thấy tam giác đều nên
Theo định lý Pitago ta có:
Suy ra
Ví dụ 2: Cho hình vuông cạnh a. M là trung điểm của AB, G là trọng tâm tam giác . Tính giá trị các biểu thức sau:
a)
A. B.
C. D.
b)
A. B. C. D.
Bài làm:
(hình 2.3)
a) Theo quy tắc hình bình hành ta có
Do đó
(vì )
Mặt khác và theo định lý Pitago ta có :
Suy ra
b) Vì G là trọng tâm tam giác nên
Mặt khác theo quy tắc hình bình hành và hệ thức trung điểm ta có và
Suy ra
Ta lại có
Nên
Ví dụ 3: Cho tam giác có . M là trung điểm của BC, D là chân đường phân giác trong góc A.
a) Tính
A. B. C. D.
b) Tính
A. B.
C. D.
Bài làm:
(hình 2.3)
a) Ta có
Mặt khác
Suy ra hay
b) * Vì M là trung điểm của BC nên
Suy ra
Theo câu a) ta có nên
* Theo tính chất đường phân giác thì
Suy ra (*)
Mặt khác và thay vào (*) ta được
Hay
Nhận xét : Từ câu b) suy ra độ dài đường phân giác kẻ từ đỉnh A là
3. Bài tập luyện tập:
Bài 2.13. Cho tam giác đều cạnh bằng a. Tính các tích vô hướng:
a)
A. B. C. D.
b)
A. B. C. D.
c)
A. B. C. D.
Bài làm:
Bài 2.13. a)
b)
c)
Bài 2.14 .Cho tam giác có .
a) Tính
A. B. C. D.
b) Tính .
A. B. C. D.
c) Gọi D là điểm trên CA sao cho . Tính .
A. B. C. D.
Bài làm:
Bài 2.14. a)
Suy ra
Ta có
b)
c) Ta có
Do đó
Bài 2.15. Cho các véctơ có độ dài bằng 1 và thoả mãn điều kiện . Tính .
A. B. C. D.
Bài làm:
Bài 2.15.
Bài 2.16. Cho các véctơ có độ dài bằng 1 và góc tạo bởi hai véc tơ bằng . Xác định cosin góc giữa hai vectơ và với ,
A. B. C. D.
Bài làm:
Bài 2.16.
Mặt khác ,
Suy ra
Bài 2.17. Cho hình vuông cạnh bằng 3. Trên cạnh AB lấy điểm M sao cho , trên cạnh CD lấy điểm N sao cho và P là trung điểm BC. Tính .
A. B.
C. D.
Bài làm:
Bài 2.17. Ta có
Suy ra
Mặt khác
Bài 2.18. Cho hình chữ nhật có . M là điểm được xác định bởi , G là trọng tâm tam giác . Tính
A. B. C. D.
Bài làm:
Bài 2.18. Ta có
Vì G là trọng tâm tam giác nên
Suy ra
Bài 2.19. Cho tứ giác . Gọi M, N lần lượt là trung điểm của DA, BC. Tính góc giữa hai đường thẳng AB và CD biết.
A. B. C. D.
Bài làm:
Bài 2.19. Ta có: suy ra
.
Do đó .
Bài 2.20: Cho tứ giác có . Tìm góc giữa hai vectơ .
Bài làm:
Bài 2.20. Với điểm O bất kỳ ta có :
Mặt khác
Xây dựng các đẳng thức tương tự thay vào ta tính được
Suy ra
Bài 2.21: Cho tam giác đều có cạnh bằng 1. Gọi D là điểm đối xứng với C qua đường thẳng AB, M là trung điểm của cạnh CB.
a) Xác định trên đường thẳng AC điểm N sao cho tam giác vuông tại D. Tính diện tích tam giác đó.
A. B. C. D.
b) Xác định trên đường thẳng AC điểm P sao cho tam giác vuông tại M. Tính diện tích tam giác đó.
A. B. C. D.
c) Tính côsin góc hợp bởi hai đường thẳng MP và PD
A. B.
C. D.
Bài làm:
Bài 2.21. HD: Đặt . Khi đó
a) Giải sử . Khi đó ta có:
và . Suy ra
Để tam giác vuông tại D ta phải có
Ta có
b) Tương tự câu a) ta có
c) Theo câu a) và b) ta có
Do đó .
Suy ra
