02. Cực trị của hàm số là tài liệu môn Toán trong chương trình Lớp 12 được cungthi.online tổng hợp và biên soạn từ các nguồn chia sẻ trên Internet. Tạo nguồn tài liệu giúp các bạn trong việc ôn luyện và học tập
Những địa chỉ uy tín để bạn mua sách
Nội dung tóm tắt
Câu hoỏi trắc nghiệm toán 12 GV: Lê Văn Huy- Đăk Mil
Trang 1
BÀI 2: CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
A- TÓM TẮT LÝ THUYẾT
Giả sử hàm số y f x xác định và liên tục trên khoảng ;a b ( a có thể là , b có thể là
) và 0 ;x a b .
1. Định nghĩa
Nếu tồn tại số h sao cho 0f x f x với mọi 0 0;x x h x h và 0x x thì ta nói hàm số
f x đạt cực đại tại điểm 0.x Khi đó:
0x được gọi là một điểm cực đại của hàm số .f x
0f x được gọi là giá trị cực đại của hàm số .f x
Nếu tồn tại số h sao cho 0f x f x với mọi 0 0;x x h x h và 0x x thì ta nói hàm số
f x đạt cực tiểu tại điểm 0.x Khi đó:
0x được gọi là một điểm cực tiểu của hàm số .f x
0f x được gọi là giá trị cực tiểu của hàm số .f x
Điểm cực đại và điểm cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị của hàm số và điểm cực trị phải
là một điểm trong tập xác định K.
Giá trị cực đại và giá trị cực tiểu được gọi chung là giá trị cực trị (hay cực trị).
2. Điều kiện đủ để hàm số có cực trị: Giả sử hàm số ( )y f x liên tục trên 0 0( ; )K x h x h và
có đạo hàm trên K hoặc trên 0\{ }K x , với 0h .
+ Nếu '( ) 0f x trên khoảng 0 0( ; )x h x và '( ) 0f x trên 0 0( ; )x x h thì 0x là một điểm cực đại
của hàm số ( )f x .
+ Nếu '( ) 0f x trên khoảng 0 0( ; )x h x và ( ) 0f x trên 0 0( ; )x x h thì 0x là một điểm cực tiểu
của hàm số ( )f x .
Minh họa bằng bảng biến thiến
3. Chú ý
Câu hoỏi trắc nghiệm toán 12 GV: Lê Văn Huy- Đăk Mil
Trang 2
Giá trị cực đại (cực tiểu) 0f x của hàm số f nói chung không phải là giá trị lớn nhất
(giá trị nhỏ nhất) của hàm số f trên tập xác định K mà 0f x chỉ là giá trị lớn nhất (giá trị nhỏ
nhất) của hàm số f trên khoảng , Ka b và ,a b chứa 0.x
Nếu f x không đổi dấu trên tập xác định K của hàm số f thì hàm số f không có cực
trị.
Nếu 0x là một điểm cực trị của hàm số f thì người ta nói rằng hàm số f đạt cực trị tại
điểm 0x và điểm có tọa độ 0 0;x f x được gọi là điểm cực trị của đồ thị hàm số .f
3. Định lý
●
0
0
0
' 0
'' 0
f x
x
f x
là điểm cực đại của f x .
●
0
0
0
' 0
'' 0
f x
x
f x
là điểm cực tiểu của f x .
4. Phương trình đường thẳng nối hai điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số bậc ba
3 2y f x ax bx cx d là y mx n , trong đó mx n là dư thức trong phép chia f x
cho 'f x .
Quy tắc tìm cực trị.
Quy tắc 1:
Bước 1. Tìm tập xác định của hàm số.
Câu hoỏi trắc nghiệm toán 12 GV: Lê Văn Huy- Đăk Mil
Trang 3
Bước 2. Tính ( )f x . Tìm các điểm tại đó ( )f x bằng 0 hoặc ( )f x không xác định.
Bước 3. Lập bảng biến thiên.
Bước 4. Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực trị.
Quy tắc 2:
Bước 1. Tìm tập xác định của hàm số.
Bước 2. Tính ( )f x . Giải phương trình ( )f x và ký hiệu ix ( 1, 2,3,...)i là các nghiệm.
Bước 3. Tính ( )f x và ( )if x .
Bước 4. Dựa vào dấu của ( )if x suy ra tính chất cực trị của điểm ix .
CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM.
BÀI TOÁN KHÔNG CHỨA THAM SỐ
Câu 1. Cho hàm số f x xác định, liên tục và có đạo hàm trên khoảng ;a b . Mệnh đề nào sau
đây là sai?
A. Nếu f x đồng biến trên ;a b thì hàm số không có cực trị trên ;a b .
B. Nếu f x nghịch biến trên ;a b thì hàm số không có cực trị trên ;a b .
C. Nếu f x đạt cực trị tại điểm 0 ;x a b thì tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm
0 0;M x f x song song hoặc trùng với trục hoành.
D. Nếu f x đạt cực đại tại 0 ;x a b thì f x đồng biến trên 0;a x và nghịch biến trên
0;x b .
Lời giải. Các Mệnh đề A, B, C đều đúng theo định nghĩa trong SGK.
Mệnh đề D. Vì mệnh đề này chưa chỉ rõ ngoài 0 ;x a b là cực đại của f x thì còn có cực
trị nào khác nữa hay không. Nếu có thêm điểm cực đại (hoặc cực tiểu khác) thì tính đơn điệu của
hàm sẽ bị thay đổi theo.
Có thể xét ví dụ khác: Xét hàm 4 22f x x x , hàm số này đạt cực đại tại 0 2 20 ;x ,
nhưng hàm số này không đồng biến trên 2;0 và cũng không nghịch biến trên 0;2 . Chọn D.
Câu 2. Cho khoảng ;a b chứa điểm 0x , hàm số f x có đạo hàm trên khoảng ;a b (có thể trừ
điểm 0x ). Mệnh đề nào sau đây là đúng?
Câu hoỏi trắc nghiệm toán 12 GV: Lê Văn Huy- Đăk Mil
Trang 4
A. Nếu f x không có đạo hàm tại 0x thì f x không đạt cực trị tại 0x .
B. Nếu 0' 0f x thì f x đạt cực trị tại điểm 0x .
C. Nếu 0' 0f x và 0'' 0f x thì f x không đạt cực trị tại điểm 0x .
D. Nếu 0' 0f x và 0'' 0f x thì f x đạt cực trị tại điểm 0x .
Lời giải. Chọn D
Vì theo định lí trong SGK. Các mệnh đề sau sai vì:
Mệnh đề A sai, ví dụ hàm y x không có đạo hàm tại 0x nhưng đạt cực tiểu tại 0x .
Mệnh đề B thiếu điều kiện 'f x đổi dấu khi qua 0x .
Mệnh đề C sai, ví dụ hàm 4y x có
' 0 0
'' 0 0
f
f
nhưng 0x là điểm cực tiểu của hàm số.
