12. TichPhan thay Van là tài liệu môn Toán trong chương trình Lớp 12 được cungthi.vn tổng hợp và biên soạn. Tạo nguồn tài liệu giúp các bạn trong việc ôn tập
Những địa chỉ uy tín để bạn mua sách
Nội dung tóm tắt
Phân loại và phương pháp giải toán 12 Trần Công Văn
CHỦ ĐỀ 1. CÁC PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM
A. Tóm tắt lý thuyết
* Định nghĩa: Cho . Hàm số được gọi là một nguyên hàm của trên nếu .
Nếu chỉ nói là nguyên hàm của (không nói rõ là tập nào) thì ta hiểu là nguyên hàm của trên tập xác định của
* Chú ý: Khi thì các đẳng thức và được hiểu là và .
Cho hai hàm số và liên tục trên . Nếu là nguyên hàm của trên thì ta có thể chứng minh được cũng là nguyên hàm của trên .
* Họ nguyên hàm: Giả sử hàm số là một nguyên hàm nào đó của hàm số trên . Khi đó
+) Với mỗi hàng số , hàm số cũng là một nguyên hàm của trên .
+) Ngược lại, với mỗi nguyên hàm của trên đều tồn tại hằng số sao cho với mọi .
Từ đó suy ra , là họ tất cả các nguyên hàm của trên . Họ tất cả các nguyên hàm của trên được ký hiệu là . Như vậy , .
* Nguyên hàm của hàm hợp .
* Một số tính chất cơ bản của nguyên hàm
.
.
B. BẢNG NGUYÊN HÀM
Nguyên hàm của những hàm số sơ cấp thường gặp Nguyên hàm của những hàm số thường gặp Nguyên hàm của những hàm số hợp
C. CÁC PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM
* Để tìm họ nguyên hàm của một hàm số , cũng có nghĩa là ta đi tính một tích phân bất định : . Ta có ba phương pháp :
- Phương pháp phân tích .
- Phương pháp đổi biến số .
- Phương pháp tích phân từng phần
Do đó điều quan trọng là có dạng như thế nào để ta ngiên cứu có thể phân tích chúng sao cho có thể sử dụng bảng nguyên hàm cơ bản để tìm được nguyên hàm của chúng . Hoặc sử dụng hai phương pháp còn lại
- Sau đây là một số gợi ý giúp các em có thể nhận biết dạng của f(x) mà có phương pháp phân tích cụ thể , từ đó tìm được nguyên hàm của chúng .
I. PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM BẰNG CÁCH PHÂN TÍCH
I.1 TRƯỜNG HỢP : LÀ MỘT HÀM ĐA THỨC
A.CÁCH TÌM
1. Sử dụng công thức tìm nguyên hàm của hàm số : f(x)=
2. Do đó nguyên hàm của là :
B. MỘT SỐ VÍ DỤ MINH HỌA .
Ví dụ 1. Tìm nguyên hàm các hàm số sau
1. 2.
3. 4.
GIẢI
1.
2.
3.
4.
C.BÀI TẬP
Tìm nguyên hàm các hàm số sau
1) 2) 3) 4)
5) 6) 7) 8)
9) 10) 11) 12)
13) 14) 15) 16)
17) 18) 19) 20)
I.2 TRƯỜNG HỢP : LÀ MỘT HÀM SỐ HỬU TỶ
BẢNG NGUYÊN HÀM CÁC HÀM SỐ ĐƠN GIẢN
1)
2)
3)
4)
5)
6)
TÍCH PHÂN DẠNG:
* Trường hợp : Bậc của P(x) cao hơn hoặc bằng bậc của Q(x) , thì bằng phép chia đa thức ta lấy P(x) chia cho Q(x) được một đa thức A(x) và một số dư R(x) mà bậc của R(x) thấp hơn bậc của Q(x). Như vậy tích phân của A(x) ta tính được ngay ( như đã trình bày ở trên). Do vậy ta chỉ ngiên cứu cách tìm nguyên hàm của trong trường hợp bậc tử thấp hơn bậc của mẫu , nghĩa là có dạng : .
Trước hết ta ngiên cứu cách tìm nguyên hàm của có một số dạng đặc biệt .
1. Hàm số có dạng :
* Ta phân tích : , mà ta đã biết ở lớp 10 .
* Xét ba trường hợp của . Ta sẽ có ba dạng của f(x) và ta cũng có ba cách tìm nguyên hàm gợi ý sau :
- Nếu :
- Nếu :
- Nếu :
Do vậy tích phân trên có thể giải như sau :
- Trường hợp : , thì
* Nếu đặt :
. ( với : ).
- Trường hợp : = 0 thì : .
Hay :
- Trường hợp : thì :
.
Ví dụ 1. Hãy tính các tích phân sau :
a. b.
GIẢI
a. . Đặt : .
.
Với :
b. Đặt : .
Với :
Ví dụ 2 . Tìm nguyên hàm của các hàm số sau
a. b.
GIẢI
a.
b.
Ví dụ 3. Tìm nguyên hàm các hàm số sau
a. b.
GIẢI
a.
b.
2. Hàm số có dạng :
* Ta có hai cách tìm .
-Cách một : Biến đổi tử số thành dạng :
+) Nếu D = 0 thì :
+)Nếu D thì :
Trong đó : , đã biết cách tìm ở ý 1.
-Cách hai :( Chỉ áp dụng cho trường hợp mẫu số có hai nghiện thực )
+) Ta biến đổi :
+) Sau đó quy đồng mẫu số vế phải thành :
+) Đồng nhất hệ số hai tử số , ta có hệ : . Từ đó suy ra M,N
+) Thay M, N vào (*) ta tính được tích phân :
* Chú ý : Ta có thể tìm M, N bằng cách khác là thay lần lượt hai nghiệm của mấu số vào hai tử số , ta được hai phương trình .Từ hai phương trình ta suy ra M, N . Các bước tiếp theo lại làm như trên .
CÁC VÍ DỤ ÁP DỤNG
Ví dụ 4. Tìm nguyên hàm các hàm số sau
a. b.
GIẢI
a.
b.
Ví dụ 5. Tìm nguyên hàm các hàm số sau
a. b.
GIẢI
a.Cách 1.
Ta có : . Đồng nhất hệ số hai tử số ta có hệ phương trình : .
Vậy :
Tính :J=
Do đó :
-Cách 2.
Ta có :
+)
Đồng nhất hệ số hai tử số ta có hệ :
Suy ra :
Vậy : .
+) Phân tích f(x) đễn (*) .Sau đó thay hai nghiệm x=1 và x=3 vào hai tử số để tìm A,B , cụ thể ta có hệ hai phương trình sau :
Các bước tiếp theo giống như trên .
b..Ta có : . Đồng nhất hệ số hai tử số :
Ta có hệ
Suy ra : .
Vậy :
3. TỔNG QUÁT :
Dạng 1.
- Ta phân tích :
- Dùng phương pháp đồng nhất hệ số tìm .
● Dạng 2.
- Ta phân tích :
- Dùng phương pháp đồng nhất hệ số tìm
● Dạng 3.
- Ta phân tích :
- Dùng phương pháp đồng nhất hệ số tìm
● Dạng 4.
- Ta phân tích :
- Dùng phương pháp đồng nhất hệ số tìm
a. Trường hợp mẫu số không có nghiệm thực có nghiệm thực (Tức là mẫu số vô nghiệm).
* Ta phân tích như ở ví dụ 5- cách 1
b. Trường hợp mẫu số có nhiều nghiệm
