131 BAI GIANG TOAN UNG DUNG THUC TIEN FILE WORD CO LOi GIAI là tài liệu môn Toán trong chương trình Lớp 12 được cungthi.vn tổng hợp và biên soạn. Tạo nguồn tài liệu giúp các bạn trong việc ôn tập
Những địa chỉ uy tín để bạn mua sách
Nội dung tóm tắt
Nhóm 1: Bài toán về quãng đường
Một công ty muốn làm một đường ống dẫn từ một điểm A trên bờ đến một điểm B trên một hòn đảo. Hòn đảo cách bờ biển 6km. Giá để xây đường ống trên bờ là 50.000USD mỗi km, và 130.000USD mỗi km để xây dưới nước. B’ là điểm trên bờ biển sao cho BB’ vuông góc với bờ biển. Khoảng cách từ A đến B’ là 9km. Vị trí C trên đoạn AB’ sao cho khi nối ống theo ACB thì số tiền ít nhất. Khi đó C cách A một đoạn bằng:
A. 6.5km B. 6km C. 0km D.9km
Hướng dẫn giải
Đặt
Chi phí xây dựng đường ống là
Hàm , xác định, liên tục trên và
; ;
Vậy chi phí thấp nhất khi . Vậy C cần cách A một khoảng 6,5km.
Một ngọn hải đăng đặt tại vị trí có khoảng cách đến bờ biển .Trên bờ biển có một cái kho ở vị trí cách một khoảng .Người canh hải đăng có thể chèo đò từ đến trên bờ biểnvới vận tốc rồi đi bộ đến với vận tốc .Vị trí của điểm cách B một khoảng bao nhiêu để người đó đi đến kho nhanh nhất?
A. B. C. D.
Hướng dẫn giải
Đặt .
Ta có: Thời gian chèo đò từ đến là:
Thời gian đi bộ đi bộ đến là:
Thời gian từ đến kho
Khi đó: , cho
Lập bảng biến thiên, ta thấy thời gian đến kho nhanh nhất khi
Đường dây điện 110KV kéo từ trạm phát (điểm A) trong đất liền ra Côn Đảo (điểm C). biết khoảng cách ngắn nhất từ C đến B là 60km, khoảng cách từ A đến B là 100km, mỗi km dây điện dưới nước chi phí là 5000 USD, chi phí cho mỗi km dây điện trên bờ là 3000 USD. Hỏi điểm G cách A bao nhiêu để mắc dây điện từ A đến G rồi từ G đến C chi phí ít nhất.
A: 40km B: 45km C: 55km D: 60km
Hướng dẫn giải
Gọi
Ta có
Chi phí mắc dây điện:
Khảo sát hàm ta được: . Chọn B.
Một màn ảnh chữ nhật cao 1,4 mét được đặt ở độ cao 1,8 mét so với tầm mắt (tính từ đầu mép dưới của màn hình). Để nhìn rõ nhất phải xác định vị trí đứng sao cho góc nhìn lớn nhất. Hãy xác định vị trí đó ? ( gọi là góc nhìn)
A. B.
C. D.
Hướng dẫn giải
Với bài toán này ta cần xác định OA để góc BOC lớn nhất.
Điều này xảy ra khi và chỉ khi tanBOC lớn nhất. Đặt OA = x (m) với x > 0,
ta có tanBOC = tan(AOC - AOB) =
= = =
Xét hàm số f(x) =
Bài toán trở thành tìm x > 0 để f(x) đạt giá trị lớn nhất. Ta có
f'(x) =, f'(x) = 0 x = 2,4
Ta có bảng biến thiên
Vậy vị trí đứng cho góc nhìn lớn nhất là cách màn ảnh 2,4m.
Từ cảng A dọc theo đường sắt AB cần phải xác định một trạm trung chuyển hàng hóa C và xây dựng một con đường từ C đến D. Biết rằng vận tốc trên đường sắt là v1 và trên đường bộ là v2 (v1 < v2). Hãy xác định phương án chọn địa điểm C để thời gian vận chuyển hàng từ cảng A đến cảng D là ngắn nhất?
Hướng dẫn giải
Gọi t là thời gian vận chuyển hàng hóa từ cảng A đến cảng D.
Thời gian t là: t = = =
= =
Xét hàm số . Ứng dụng Đạo hàm ta được nhỏ nhất khi . Vậy để t nhỏ nhất ta chọn C sao cho .
Hai con tàu đang ở cùng một vĩ tuyến và cách nhau 5 hải lý. Đồng thời cả hai tàu cùng khởi hành, một chạy về hướng Nam với 6 hải lý/giờ, còn tàu kia chạy về vị trí hiện tại của tàu thứ nhất với vận tốc 7 hải lý/ giờ. Hãy xác định mà thời điểm mà khoảng cách của hai tàu là lớn nhất?
Hướng dẫn giải
Tại thời điểm t sau khi xuất phát, khoảng cách giữa hai tàu là d.
Ta có d2 = AB12 + AA12 = (5 - BB1)2 + AA12 = (5 - 7.t)2 + (6t)2
Suy ra d = d(t) = .
Áp dụng Đạo hàm ta được d nhỏ nhất
khi (giờ), khi đó ta có d3,25 Hải lý.
Nhóm 2: Bài toán diện tích hình phẳng
Cho hình chữ nhật có diện tích bằng . Hỏi mỗi kích thước của nó bằng bao nhiêu để chu vi của nó nhỏ nhất?
A. B. C. D. Đáp án khác
Hướng dẫn giải
Gọi chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật lần lượt là: và
Chu vi hình chữ nhật là:
Theo đề bài thì: hay . Do đó: với
Đạo hàm: . Cho .
Lập bảng biến thiên ta được: khi .
Kết luận: Kích thước của hình chữ nhật là (là hình vuông).
Lưu ý: Có thể đánh giá bằng BĐT Cô-Sy:
Một lão nông chia đất cho con trai để người con canh tác riêng, biết người con sẽ được chọn miếng đất hình chữ nhật có chu vi bằng . Hỏi anh ta chọn mỗi kích thước của nó bằng bao nhiêu để diện tích canh tác lớn nhất?
A. B. C. D.Đáp án khác
Hướng dẫn giải
Gọi chiều dài và chiều rộng của miếng đất lần lượt là: và
Diện tích miếng đất:
Theo đề bài thì: hay . Do đó: với
Đạo hàm: . Cho .
Lập bảng biến thiên ta được: khi .
Kết luận: Kích thước của miếng đất hình chữ nhật là (là hình vuông).
Lưu ý: Có thể đánh giá bằng BĐT Cô-Sy.
Người ta muốn rào quanh một khu đất với một số vật liệu cho trước là mét thẳng hàng rào. Ở đó người ta tận dụng một bờ giậu có sẵn để làm một cạnh của hàng rào và rào thành mảnh đất hình chữ nhật. Hỏi mảnh đất hình chữ nhật được rào có diện tích lớn nhất bằng bao nhiêu?
A. B. C. D.
Hướng dẫn giải
Gọi là chiều dài cạnh song song với bờ giậu và là chiều dài cạnh vuông góc với bờ giậu, theo bài ra ta có . Diện tích của miếng đất là .
Ta có:
Dấu xảy ra .
Vậy khi .
Trong lĩnh vực thuỷ lợi, cần phải xây dựng nhiều mương dẫn nước dạng "Thuỷ động học" (Ký hiệu diện tích tiết diện ngang của mương là S, là độ dài đường biên giới hạn của tiết diện này,- đặc trưng cho khả
