17 Chuyên đề tích phân tự luận File word có lời giải chi tiết là tài liệu môn Toán trong chương trình Lớp 12 được cungthi.vn tổng hợp và biên soạn. Tạo nguồn tài liệu giúp các bạn trong việc ôn tập
Những địa chỉ uy tín để bạn mua sách
Nội dung tóm tắt
Bài tập trắc nghiệm chuyên đề nguyên hàm – Tích phân : Luyện thi thpt quốc gia 2017 - 2018
GIẢI TOÁN TÍCH PHÂN BẰNG NHIỀU CÁCH
(Một phương pháp nhằm phát triển tư duy)
I. TÍCH PHÂN HÀM HỮU TỶ
Bài tập giải mẫu:
Bài 1: Tính tích phân sau: I =
Giải:
Cách 1: Phương pháp biến đối số
Đặt
Đổi cận
Khi đó
I =
Nhận xét: Đối với tích phân dạng I thì ta có thể đặt
Cách 2: Phương pháp tích phân toàn phần
Đặt
Khi đó I
Tính J =
Đặt
Khi đó I =
Chú ý: Sở dĩ ta sử dụng được phương pháp này là vì
Khi tính tích phân hàm phân thức mà ta phân tích được về dạng I = thì
Đặt
Cách 3: Kĩ thuật tách thành tích kết hợp phương pháp đổi biến số
Nhận xét: Ta có và từ đó ta định hướng giải như sau
Phân tích I =
Đặt
Đổi cận
Khi đó I =
Cách 4: Phân tích và đưa vào vi phân
I =
Cách 5: Chia đa thức để tách thành tổng hai tích phân đơn giản hơn
I =
Nhận xét: Đây là tích phân hàm phân thức mà có bậc của tử lớn hơn bậc của mẫu chính vì thế ta chia đa thức để tách thành tổng các tích phân là phương pháp tối ưu nhất
Cách 6: Phân tích tử thức chứa mẫu thức (thực chất là chia đa thức)
Ta có
Khi đó I =
Bài 2: Tính tích phân bất định: I =
Giải:
Cách 1: Phân tích tử thức chứa nghiệm của mẫu thức
Phân tích
Khi đó
I =
Cách 2: Kết hợp phân tích tử thức chứa nghiệm ở mẫu thức và kĩ thuật “nhảy tầng lầu”
Phân tích
Khi đó
I =
Cách 3: Kết hợp phân tích tử thức chứa nghiệm ở mẫu thức và đồng nhất thức
Phân tích
Khi đó I =
Tính bằng phương pháp đồng nhất thức….
Cách 4: Chia đa thức để tách thành tổng hai tích phân đơn giản hơn
I =
Tính bằng phương pháp đồng nhất thức….
Bài 3: Tìm nguyên hàm sau: I =
Giải:
Cách 1: Phương pháp đổi biến số
Đặt
Khi đó I =
với
Cách 2: Phân tích tử thức chứa nghiệm ở mẫu thức
Phân tích
Khi đó I =
Cách 3: Kết hợp phân tích tử thức chứa nghiệm ở mẫu thức và kĩ thuật nhảy tần lầu
Phân tích
Khi đó I =
Cách 4: Kết hợp phân tích tử thức chứa nghiệm ở mẫu thức và đồng nhất thức
Phân tích
Khi đó I =
Tính bằng phương pháp đồng nhất thức
Cách 5: Chia đa thức để tách thành tổng các tích phân đơn giản
I =
Cách 6: Sử dụng phương pháp tích phân từng phần
Đặt
Khi đó
I =
Bài 4: Tìm nguyên hàm: I =
Giải:
Cách 1: Sử dụng phương pháp đưa vào vi phân
Phân tích
I =
Cách 2:
Đặt
I =
Nhận xét:
Cách 3: Sử dụng phương pháp tích phân từng phần
Đặt
Khi đó I = đến đây các bạn có thể tự làm rồi
Bài 5: Tìm nguyên thức: I =
Giải:
Cách 1: Sử dụng phương pháp đưa vào vi phân
Sử dụng đồng nhất thức:
Khi đó
I =
Cách 2: Sử dụng phương pháp biến đổi số
Đặt ta có: nên
A =
=
Cách 3: Sử dụng phương pháp tích phân từng phần
Đặt
Khi đó
I =
đến đây rùi ta có thể tính bằng phương pháp tích phân từng phần hoặc phân tích
Nhận xét :
- Đối với bài 3, bài 4 và mà ta sử dụng phương pháp đồng nhất thức thì giải hệ quả thật là nan giải phải không, chính vì thể mà lựa chọn phương pháp nào mà hiệu quả và nhanh về đích nhất
Qua bài 3, bài 4 và bài 5 ta chú ý
- Đối với tích phân hàm phân thức có dạng I = thì đặt là một phương pháp hiệu quả nhất
- Khi tính tích phân hàm phân thức mà ta phân tích được về dạng I = thì ta sử
dụng phương pháp tích phân từng phần nhưng nên làm khi bậc của là
Đặt
Bài 11: (ĐHDB – B 2004) Tính tích phân sau: I =
HD:
Cách 1: Biến đổi số
Nhân cả tử và mẫu cho
I =
Đặt
Cách 3: Biến đổi số
Đặt … Bạn đọc tự giải
Cách 4: Đưa vào vi phân
Phân tích tử
Khi đó I =
Bài 12: Tính tích phân sau: I =
Giải:
Cách 1: Sử dụng phương pháp phân tích
Cách 1.1: Phân tích:
Khi đó
I =
Cách 1.2: Phân tích
… tự làm nhé
Cách 2: Kết hợp kĩ thuật tách thành tích và phương pháp biến đổi số
Phân tích I =
Đặt
Đổi cận
Khi đó I = đến đây lại trở thành Bài 1, các bạn tha hồ mà làm nhé
Cách 3: Sử dụng kĩ thuật nhân trên tử và phương pháp đổi biến số
I =
Đặt
Đổi cận
Khi đó I =
Hoặc các bạn có thể đặt hoặc phân tích hoặc đồng nhất thức
Cách 4: Sử dụng kĩ thuật nhân trên tử và phương pháp đưa vào vi phân
I =
ôi đến đây lại thành Cách 1 rùi, lòng vòng quá, bỏ qua thui…
Cách 5: Sử dụng phương pháp đồng nhất thức
đến đây thì đồng nhất thức hai vế để giải hệ tìm I = A,B,C,D,E tuy nhiên
việc giải hệ là phức tạp chính vì thể trong trường hợp này ta nên làm theo cách 1, cách 2 và cách 3 là hiệu quả nhất
Cách 6: Đặt bạn đọc tự làm
Bài 14: Tính tích phân sau: I =
Giải:
Nhận xét:
Cách 1: Dựa vào nhận xét trên ta sử dụng đồng nhất thức:
Khi đó I =
Tính bằng cách đặt hoặc
Tính phân tích (kĩ thuật nhảy tầng lầu)
Ta có
Cách 2: Đồng nhất thức
Xét
Đến đây ta có thể đồng nhất hệ số giải hệ tìm A, B, C hoặc cho một số giá trị riêng là
Bạn tự giải tiếp nhé
Kết quả ta được I =
Cách 3: Đổi biến số kết hợp kĩ thuật “nhảy tầng lầu”
I =
Đặt
Đổi cận
Bài 15: Tính tích phân bất định: I = .
Giải:
Cách 1: Biến đổi số
Đặt
Khi đó I =
Cách 2: Đồng nhất tử thức chứa nghiệm của mẫu thức
Phân tích đồng nhất để tìm a, b, c, d, e
…
Cách 3: Khai triển Taylor (tham khảo)
Đặt
Áp dụng khai triển Taylor
