87 bài toán thực tế có lời giải chi tiết Nguyễn Tiến Minh là tài liệu môn Toán trong chương trình Lớp 12 được cungthi.online tổng hợp và biên soạn từ các nguồn chia sẻ trên Internet. Tạo nguồn tài liệu giúp các bạn trong việc ôn luyện và học tập
Những địa chỉ uy tín để bạn mua sách
Nội dung tóm tắt
Nguyễn Tiến Minh
Lý thuyết lãi đơn, lãi kép
1. Lãi đơn
Số tiền lãi chỉ tính trên số tiền gốc mà không tính trên số tiền lãi do số tiền gốc sinh ra.
Công thức tính lãi đơn:
( )T M r n= +1 .
Trong đó:
T: Số tiền cả vốn lẫn lãi sau n kỳ hạn;
M: Tiền gửi ban đầu;
n: Số kỳ hạn tính lãi;
r: Lãi suất định kỳ, tính theo %
2. Lãi kép
Là số tiền lãi không chỉ tính trên số tiền gốc mà còn tính trên số tiền lãi do tiền gốc đó
sinh ra thay đổi theo từng định kỳ.
a. Lãi kép, gửi một lần
( )nT M r= +1
Trong đó:
T: Số tiền cả vốn lẫn lãi sau n kỳ hạn;
M: Tiền gửi ban đầu;
n: Số kỳ hạn tính lãi;
r: Lãi suất định kỳ, tính theo %
b. Lãi kép, gửi định kỳ.
Trường hợp 1: Tiền được gửi vào cuối mỗi tháng.
+ Cuối tháng thứ nhất cũng là lúc người đó bắt đầu gửi tiền: 1T M=
+ Cuối tháng thứ 2, người đó có số tiền là:
Nguyễn Tiến Minh
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2
1 1 1 1 1 1 1
1 1
M M
M r M M r r r
rr
+ + = + + = + − = + − + −
+ Cuối tháng thứ 3: ( ) ( ) ( )2 21 1 1 . 1 1M M Mr r r r
r r r
+ − + + = + −
+ Cuối tháng thứ n, người đó có số tiền là::
( )nn MT rr
= + −
1 1
Tiếp cận khác về công thức:
+ Tiền gửi tháng thứ nhất sau 1n− kỳ hạn ( 1n− tháng) thành: ( ) 11 nM r −+
+ Tiền gửi tháng thứ nhất sau 2n− kỳ hạn ( 2n− tháng) thành: ( ) 21 nM r −+
+ Tiền gửi tháng cuối cùng là: ( )01M r+
Vậy áp dụng công thức tổng cấp số nhân, số tiền cuối tháng n là:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 0 1 1 1 11 1 ... 1
1 1
n n
n n r r
M r M r M r M M
r r
− − + − + −
+ + + + + + = =
+ −
Ta cũng được công thức trên:
( )1 1nn MT rr
= + −
Trường hợp 2: Tiền gửi vào đầu mỗi tháng.
( ) ( )nn MT r rr
= + − +
1 1 1
Các bài toán ứng dụng lãi đơn, lãi kép:
Bài toán 1. Ông Diêu gửi 150 triệu đồng vào ngân hàng theo thể thức lãi kép kì hạn 1
Nguyễn Tiến Minh
năm với lãi suất x %; % ∈ 5 7 năm. Sau 4 năm ông ta rút tất cả tiền ra và vay thêm ngân
hàng 1060
75
triệu đồng cũng với lãi suất x% . Ngân hàng cần lấy lãi suất x bao nhiêu để 3
năm nữa sau khi trả ngân hàng, số tiền của ông Diêu còn lại nhỏ nhất ( giả sử lãi suất
không thay đổi ).
A. x %= 6 . B x %= 7 .
C. x %= 5 . D. x . %= 6 5 .
Hướng dẫn.
Số tiền của ông sau 4 năm là ( )x+ 4150 1 .
Số tiền của ông nợ ngân hàng sau 3 năm từ khi rút tiền là: ( )x+ 31060 1
75
.
Sau khi trả ngân hàng số tiền ông còn lại ( ) ( ) ( )f x x x= + − +4 31060150 1 1
75
.
Ta có ( ) ( ) ( )f ' x x x x %= + − + = ⇔ =3 21064 1 1 0 6
25
. Vẽ bảng biến thiên thấy ( )f x nhỏ nhất
tại x %= 6 .
Chọn A.
Bài toán 2. Ông A vay ngắn hạn ngân hàng 100 triệu đồng, với lãi suất 12% trên năm.
Ông muốn hoàn nợ cho ngân hàng theo cách sau: sau đúng một tháng kể từ ngày vay,
ông bắt đầu hoàn nợ; hai lần hoàn nợ liên tiếp cách nhau đúng một tháng số tiền hoàn
nợ ở mỗi lần là như nhau và trả hết tiền nợ sau đúng ba tháng kể từ ngày vay. Hỏi, theo
cách đó, số tiền m mà ông A phải trả cho ngân hàng theo cách đó là bao nhiêu? Biết
rằng, lãi suất ngân hàng không thay đổi trong thời gian ông A hoàn nợ.
A. ( ). ,m =
3
100 1 01
3 (triệu đồng)
B. ( )
( )
( ),m TD
,
=
−
3
3
1 01
1 01 1
C. ( ). ,m TD= 100 1 03
3
D. ( )
( )
( ). ,m TD
,
=
−
3
3
120 1 12
1 12 1
Nguyễn Tiến Minh
TRÍCH ĐỀ MINH HỌA THPT QUỐC GIA 2017
Hướng dẫn: Chọn B.
Lãi suất 12%/ 1 năm tương ứng 1%/tháng nên r=0,01. (do vay ngắn hạn).
Số tiền gốc sau 1 tháng là: ( )T T.r m T r m+ − = + −1
Số tiền gốc sau 2 tháng là: ( ) ( ) ( ) ( )T r m T r m x m T r m r + − + + − − = + − + +
2
1 1 1 1 1
Số tiền gốc sau 3 tháng là: ( ) ( )T r m r r + − + + + + =
3 2
1 1 1 1 0
Do đó
( )
( )
( )
( )
T r T r .r ,
m
,r r r
+ +
= = =
−+ + + + + −
3 3
3
2 3 3
1 1 1 01
1 01 11 1 1 1 1
(triệu đồng).
Bài toán 3. Ông A mong muốn sở hữu khoản tiền 20.000.000đ vào ngày 2/3/2012 ở một
tài khoản lãi suất năm là 6,05%. Hỏi ông A cần đầu tư bao nhiêu tiền trên tài khoản này
vào ngày 2/3/2007 để đạt được mục tiêu đề ra?
A. ( )14 909 965 25. . , d B. ( )14 909 965 26. . , d
C. ( )14 909 955 25. . , d D. ( )14 909 865 25. . , d
Hướng dẫn. Chọn A
Gọi V0 là lượng vốn cần đầu tư ban đầu, lượng vốn sẽ được đầu tư trong 5 năm nên ta
có: . . V * ( , )= + 5020 000 000 1 0 0605
V . . * ( , ) . . ,−⇒ = + =50 20 000 000 1 0 0605 14 909 965 25 đ.
Bài toán 4. Ông Tuấn gửi 9,8 triệu đồng tiết kiệm với lãi suất , %8 4 /năm và lãi suất
hằng năm được nhập vào vốn. Hỏi theo cách đó thì sau bao nhiêu năm người đó thu
được tổng số tiền 20 triệu đồng (biết rằng lãi suất không thay đổi).
A. 9 năm B. 8 năm. C. 7 năm. D. 10 năm.
Hướng dẫn.
Nguyễn Tiến Minh
Gọi P là số tiền gửi ban đầu. Sau n năm ( )n∈ℕ , số tiền thu được là
( ) ( )n nnP P , P ,= + =1 0 084 1 084 .
Áp dụng với số tiền bài toán cho ta được:
( ) ( )n n ,, . , , n log ,, ,
= ⇔ = ⇔ = ≈
1 084
20 20
20 9 8 1 084 1 084 8 844
9 8 9 8
.
Vì n là số tự nhiên nên ta Chọn n = 9 .
Chọn A.
Bài toán 5. Ông Tuấn gửi tiết kiệm với lãi suất 8,4%/năm và lãi hằng năm được nhập
