Bài tập và Lý thuyết chương 3 Hình học lớp 11 VÉCTƠ TRONG KHÔNG GIAN Đặng Việt Đông File word là tài liệu môn Toán trong chương trình Lớp 11 được cungthi.vn tổng hợp và biên soạn. Tạo nguồn tài liệu giúp các bạn trong việc ôn tập
Những địa chỉ uy tín để bạn mua sách
Nội dung tóm tắt
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi tài liệu file word Quan hệ vuông góc – HH 11
VÉCTƠ TRONG KHÔNG GIAN
A – LÝ THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP
1. Định nghĩa và các phép toán
Định nghĩa, tính chất, các phép toán về vectơ trong không gian được xây dựng hoàn toàn tương tự như trong mặt phẳng.
Lưu ý:
+ Qui tắc ba điểm: Cho ba điểm A, B, C bất kỳ, ta có:
+ Qui tắc hình bình hành: Cho hình bình hành ABCD, ta có:
+ Qui tắc hình hộp: Cho hình hộp ABCD. ABCD, ta có:
+ Hê thức trung điểm đoạn thẳng: Cho I là trung điểm của đoạn thẳng AB, O tuỳ ý.
Ta có: ;
+ Hệ thức trọng tâm tam giác: Cho G là trọng tâm của tam giác ABC, O tuỳ ý. Ta có:
+ Hệ thức trọng tâm tứ diện: Cho G là trọng tâm của tứ diện ABCD, O tuỳ ý. Ta có:
+ Điều kiện hai vectơ cùng phương:
+ Điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số k (k 1), O tuỳ ý. Ta có:
2. Sự đồng phẳng của ba vectơ
Ba vectơ được gọi là đồng phẳng nếu các giá của chúng cùng song song với một mặt phẳng.
Điều kiện để ba vectơ đồng phẳng: Cho ba vectơ , trong đó không cùng phương. Khi đó: đồng phẳng ! m, n R:
Cho ba vectơ không đồng phẳng, tuỳ ý.
Khi đó: ! m, n, p R:
3. Tích vô hướng của hai vectơ
Góc giữa hai vectơ trong không gian:
Tích vô hướng của hai vectơ trong không gian:
+ Cho . Khi đó:
+ Với . Qui ước:
+
4. Các dạng toán thường gặp:
a) Chứng minh đẳng thức vec tơ.
b) Chứng minh ba vec tơ đồng phẳng và bốn điểm đồng phẳng, phân tích một vectơ theo ba vectơ không đồng phẳng.
+ Để chứng minh ba vectơ đồng phẳng, ta có thể chứng minh bằng một trong các cách:
- Chứng minh các giá của ba vectơ cùng song song với một mặt phẳng.
- Dựa vào điều kiện để ba vectơ đồng phẳng: Nếu có m, n R: thì đồng phẳng
+ Để phân tích một vectơ theo ba vectơ không đồng phẳng, ta tìm các số m, n, p sao cho:
c) Tính tích vô hướng cuả hai véc tơ trong không gian
d) Tính độ dài của đoạn thẳng, véctơ.
+ Để tính độ dài của một đoạn thẳng theo phương pháp vec tơ ta sử dụng cơ sở . Vì vậy để tính độ dài của đoạn ta thực hiện theo các bước sau:
- Chọn ba vec tơ không đồng phẳng so cho độ dài của chúng có thể tính được và góc giữa chúng có thể tính được.
- Phân tích
- Khi đó
e) Sử dụng điều kiện đồng phẳng của bốn điểm để giải bài toán hình không gian.
Sử dụng các kết quả
là bốn điểm đồng phẳng
là bốn điểm đồng phẳng khi và chỉ khi với mọi điểm bất kì ta có trong đó .
B – BÀI TẬP
Câu 1: Cho hình lăng trụ , là trung điểm của . Đặt , , . Khẳng định nào sau đây đúng?
A. . B. . C. . D. .
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
Ta phân tích như sau:
.
Câu 2: Trong không gian cho điểm và bốn điểm , , , không thẳng hàng. Điều kiện cần và đủ để , , , tạo thành hình bình hành là
A. . B. .
C. . D. .
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
Trước hết, điều kiện cần và đủ để là hình bình hành là:
.
Với mọi điểm bất kì khác , , , , ta có:
.
Câu 3: Cho hình chóp có đáy là hình bình hành. Đặt ; ; ; . Khẳng định nào sau đây đúng?
A. . B. . C. . D. .
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
Gọi là tâm của hình bình hành . Ta phân tích như sau:
(do tính chất của đường trung tuyến)
.
Câu 4: Cho tứ diện . Gọi và lần lượt là trung điểm của và . Đặt , , . Khẳng định nào sau đây đúng?
A. . B. .
C. . D. .
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
Ta phân tích:
(tính chất đường trung tuyến)
.
Câu 5: Cho hình hộp có tâm . Gọi là tâm hình bình hành . Đặt ,, , . Khẳng định nào sau đây đúng?
A. . B. .
C. . D. .
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
Ta phân tích:
.
.
.
.
Câu 6: Cho hình hộp . Gọi và lần lượt là tâm của hình bình hành và . Khẳng định nào sau đây sai?
A. .
B. Bốn điểm , , , đồng phẳng.
C. .
D. Ba vectơ ; ; không đồng phẳng.
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
A đúng do tính chất đường trung bình trong và tính chất của hình bình hành .
B đúng do nên bốn điểm , , , đồng phẳng.
C đúng do việc ta phân tích:
.
D sai do giá của ba vectơ ; ; đều song song hoặc trùng với mặt phẳng . Do đó, theo định nghĩa sự đồng phẳng của các vectơ, ba vectơ trên đồng phẳng.
Câu 7: Cho tứ diện . Người ta định nghĩa “ là trọng tâm tứ diện khi ”. Khẳng định nào sau đây sai?
A. là trung điểm của đoạn (, lần lượt là trung điểm và ).
B. là trung điểm của đoạn thẳng nối trung điểm của và .
C. là trung điểm của đoạn thẳng nối trung điểm của và .
D. Chưa thể xác định được.
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
Ta gọi và lần lượt là trung điểm và .
Từ giả thiết, ta biến đổi như sau:
là trung điểm đoạn .
Bằng việc chứng minh tương tự, ta có thể chứng minh được phương án B và C đều là các phương án đúng, do đó phương án D sai.
Câu 8: Cho tứ diện có là trọng tâm tam giác . Đặt ; ; . Khẳng định nào sau đây đúng?
A. . B. .
C. . D. .
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
Gọi là trung điểm .
Ta phân tích:
.
Câu 9: Cho hình hộp có tâm . Đặt ; . là điểm xác định bởi . Khẳng định nào sau đây đúng?
A. là tâm hình bình hành . B. là tâm hình bình hành .
C. là trung điểm . D. là trung điểm .
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
Ta phân tích:
.
là trung điểm của .
Câu 10: Cho ba vectơ khôn
