Các phương pháp giải PT – BPT – HPT Mũ và Logarit – Nguyễn Trung Kiên là tài liệu môn Toán trong chương trình Lớp 12 được cungthi.online tổng hợp và biên soạn từ các nguồn chia sẻ trên Internet. Tạo nguồn tài liệu giúp các bạn trong việc ôn luyện và học tập
Những địa chỉ uy tín để bạn mua sách
Nội dung tóm tắt
CÁC PH NG PHÁP GI IƯƠ Ả
PH NG TRÌNH- B T PH NG TRÌNH- H MŨ- LÔGARITƯƠ Ấ ƯƠ Ệ
CH NG I:ƯƠ PH NG PHÁP GI I PH NG TRÌNH- B T PH NG TRÌNH- H MŨƯƠ Ả ƯƠ Ấ ƯƠ Ệ
BIÊN SO N GV NGUY N TRUNG KIÊN 0988844088Ạ Ễ
CH Đ I:PH NG TRÌNH MŨỦ Ề ƯƠ
BÀI TOÁN 1: S D NG PH NG PHÁP BI N Đ I T NG Đ NGỬ Ụ ƯƠ Ế Ổ ƯƠ ƯƠ
I. Ph ng pháp:ươ
Ta s d ng phép bi n đ i t ng đ ng sau:ử ụ ế ổ ươ ươ
( ) ( )
( ) ( )
1
0 1f x g x
a
aa a
f x g x
=
< ≠= ⇔ =
ho c ặ ( ) ( ) ( )
0
1 0
a
a f x g x
>
− − =
II. VD minh ho :ạ
VD1: Gi i ph ng trìnhả ươ : ( ) ( )sin 2 3 cos2 22 2 xx x x x −+ − = + −
Gi i: Ph ng trình đ c bi n đ i v d ng: ả ươ ượ ế ổ ề ạ
( ) ( )
2
2
2
1 2(*)
2 0
1 0(1)
2 1 sin 2 3 cos 0
sin 3 cos 2(2)
x
x x
x x
x x x x
x x
− < < + − > − − =⇔ + − − − + = + =
Gi i (1) ta đ c ả ượ 1,2
1 5
2
x ±= tho mãn đi u ki n (*)ả ề ệ
Gi i (2): ả 1 3sin cos 1 sin 1 2 2 ,
2 2 3 3 2 6
x x x x x k x k k Zπ π π ππ π + = ⇔ + = ⇔ + = + ⇔ = + ∈
Đ nghi m tho mãn đi u ki n (*) ta ph i có:ể ệ ả ề ệ ả
1 11 2 2 1 2 0,
6 2 6 2 6
k k k k Zπ π ππ
π π
− < + < ⇔ − − < < − ⇔ = ∈
khi đó ta nh n đ c ậ ượ 3 6
x π=
V y ph ng trình có 3 nghi m phân bi t ậ ươ ệ ệ 1,2 3
1 5 ;
2 6
x x π±= = .
VD2: Gi i ph ng trìnhả ươ : ( ) ( )
22 43 5 2 23 6 9
x xx xx x x
+ −− +− = − +
Gi i: Ph ng trình đ c bi n đ i v d ng: ả ươ ượ ế ổ ề ạ ( ) ( ) ( )
2
2 243 5 2 2 2( 4)3 3 3
x xx x x xx x x
+ −− + + − − = − = −
2 2 2
3 1 4
4
0 3 1 3 4
5
3 5 2 2 2 8 7 10 0
x x
x
x x
x
x x x x x x
− = =
= < − ≠ < ≠⇔ ⇔ ⇔ = − + = + − − + =
V y ph ng trình có 2 nghi m phân bi t x=4, x=5.ậ ươ ệ ệ
BÀI TOÁN 2: S D NG PH NG PHÁP LÔGARIT HOÁ VÀ Đ A V CÙNG C SỬ Ụ ƯƠ Ư Ề Ơ Ố
I. Ph ng pháp:ươ
Đ chuy n n s kh i s mũ lu th a ng i ta có th logarit theo cùng 1 c s c 2 v c aể ể ẩ ố ỏ ố ỹ ừ ườ ể ơ ố ả ế ủ
ph ng trình, ta có các d ng:ươ ạ
D ng 1:ạ Ph ng trình:ươ
( )
( )
0 1, 0
log
f x
a
a b
a b
f x b
< ≠ >= ⇔ =
1
D ng 2:ạ Ph ng trình : ươ
( ) ( ) ( ) ( )log log ( ) ( ).logf x g x f x f xa a aa b a b f x g x b= ⇔ = ⇔ =
ho c ặ ( ) ( )log log ( ).log ( ).f x g xb b ba b f x a g x= ⇔ =
II. VD minh ho :ạ
VD1: Gi i ph ng trình:ả ươ
2
2 2 3
2
x x− =
Gi i: L y logarit cả ấ ơ s 2 hai v ph ng trình ta đ c:ố ế ươ ượ
2 2 2 2
2 2 2 2
3log 2 log 2 log 3 1 2 1 log 3 0
2
x x x x x x− = ⇔ − = − ⇔ − + − =
Ta có , 2 21 1 log 3 log 3 0∆ = − + = > suy ra ph ng trình có nghi mươ ệ
x = 1 2± log 3.
VD2: Gi i ph ng trình:ả ươ
1
5 .8 500.
x
x x
−
=
Gi i: Vi t l i ph ng trình d i d ng:ả ế ạ ươ ướ ạ
1 1 33 3 2 385 .8 500 5 .2 5 .2 5 .2 1
x x x
x x xx x
− − −
−= ⇔ = ⇔ =
L y logarit c s 2 v , ta đ c:ấ ơ ố ế ượ
( ) ( )
3 3
3 3
2 2 2 2 2
3log 5 .2 0 log 5 log 2 0 3 .log 5 log 2 0
x x
x xx x xx
x
− −
− − −= ⇔ + = ⇔ − + =
( ) 2
2
3
13 log 5 0 1
log 5
x
x
xx
=
⇔ − + = ⇔ = −
V y ph ng trình có 2 nghi m phân bi t:ậ ươ ệ ệ
2
13;x
log 5
x= = −
Chú ý: Đ i v i 1 ph ng trình c n thi t rút g n tr c khi logarit hoá.ố ớ ươ ầ ế ọ ướ
BÀI TOÁN 3: S D NG PH NG PHÁP Đ T N PH - D NG 1Ử Ụ ƯƠ Ặ Ẩ Ụ Ạ
I. Ph ng pháp:ươ
Ph ng pháp dùng n ph d ng 1 là vi c s d ng 1 n ph đ chuy n ph ng trình ban đ uươ ẩ ụ ạ ệ ử ụ ẩ ụ ể ể ươ ầ
thành 1 ph ng trình v i 1 n ph .ươ ớ ẩ ụ
Ta l u ý các phép đ t n ph th ng g p sau:ư ặ ẩ ụ ườ ặ
D ng 1: ạ Ph ng trình ươ ( 1)1 1 0k . 0x xk k a aα α α α−−+ + =
Khi đó đ t ặ xt a= đi u ki n t>0, ta đ c: ề ệ ượ 11 1 00k kk kt t tα α α α−−+ + =
M r ng: N u đ t ở ộ ế ặ ( ) ,f xt a= đi u ki n h p t>0. Khi đó:ề ệ ẹ 2 ( ) 2 3 ( ) 3 ( ), ,.....,f x f x kf x ka t a t a t= = =
Và ( )
1f xa
t
− =
D ng 2:ạ Ph ng trình ươ 1 2 3 0x xaα aα α+ + = v i a.b=1ớ
Khi đó đ t ặ ,xt a= đi u ki n t<0 suy ra ề ệ 1xb
t
= ta đ c:ượ 221 3 1 3 20 0t t tt
αα α α α α+ + = ⇔ + + =
M r ng: V i a.b=1 thì khi đ t ở ộ ớ ặ ( ) ,f xt a= đi u ki n h p t>0, suy ra ề ệ ẹ ( ) 1f xb
t
=
2
D ng 3:ạ Ph ng trình ươ ( )2 21 2 3 0
xx xa ab bα α α+ + = khi đó chia 2 v c a ph ng trình cho ế ủ ươ 2xb >0
( ho c ặ ( )2 , . xxa a b ), ta đ c: ượ
2
1 2 3 0
x xa a
b
α
b
α α + + =
Đ t ặ ,
xat
b
=
đi u ki n t<0, ta đ c: ề ệ ượ 21 2 3 0tα tα α+ + =
M r ng: V i ph ng trình mũ có ch a các nhân t : ở ộ ớ ươ ư ử ( )2 2, , . ff fa b a b , ta th c hi n theo các b cự ệ ướ
sau:
- Chia 2 v ph ng trình cho ế ươ 2 0fb > (ho cặ ( )2 , . ffa a b )
- Đ tặ
fat
b
=
đi u ki n h p t>0ề ệ ẹ
D ng 4: L ng giác hoá.ạ ượ
Chú ý: Ta s d ng ngôn t đi u ki n h p t>0 cho tr ng h p đ t ử ụ ừ ề ệ ẹ ườ ợ ặ ( )f xt a= vì:
- N u đ t ế ặ xt a= thì t>0 là đi u ki n đúng.ề ệ
- N u đ t ế ặ 2 12xt += thì t>0 ch là đi u ki n h p, b i th c ch t đi u ki n cho t ph i là ỉ ề ệ ẹ ớ ự ấ ề ệ ả 2t ≥ .
Đi u ki n này đ c bi t quan tr ng cho l p các bài toán có ch a tham s .ề ệ ặ ệ ọ ớ ứ ố
II. VD minh ho :ạ
VD1: Gi i ph ng trìnhả ươ : 2 21cot sin4 2 3 0g x x+ − = (1)
Gi i: Đi u ki n ả ề ệ sin 0 ,x x k k Zπ≠ ⇔ ≠ ∈ (*)
Vì 22
1 1 cot
sin
g x
x
= + nên ph ng trình (1) đ c bi t d i d ng:ươ ượ ế ướ ạ
