CAU 5 ROIRACHSG9HP BV (1) là tài liệu môn Toán trong chương trình Lớp 9 được cungthi.vn tổng hợp và biên soạn. Tạo nguồn tài liệu giúp các bạn trong việc ôn tập
Những địa chỉ uy tín để bạn mua sách
Nội dung tóm tắt
CAU 5 ROIRACHSG9HP BV
01. Giả sử mỗi điểm của mặt phẳng được tô bởi một trong 3 màu xanh, đỏ, vàng. Chứng minh rằng tồn tại ba điểm cùng màu là ba đỉnh của một tam giác cân.
02BV. Cho 2017 số hữu tỷ dương được viết trên một đường tròn. Chứng minh tồn tại hai số được viết cạnh nhau trên đường tròn sao cho khi bỏ hai số đó thì 2015 số còn lại không thể chia thành hai nhóm mà tổng các số ở mỗi nhóm bằng nhau
03BV. Cho bảng vuông 13x13. Người ta tô màu đỏ ở S ô vuông của bảng sao cho không có 4 ô đỏ nào nằm ở 4 góc của một hình chữ nhật. Hỏi giá trị lớn nhất của S có thể là bao nhiêu?
DAPAN
04BV. Tìm ba chữ số tận cùng của tích của mười hai số nguyên dương đầu tiên.
05BV. Một tứ giác lồi có độ dài bốn cạnh đều là số tự nhiên sao cho tổng ba số bất kì trong chúng chia hết cho số còn lại. Chứng minh rằng tứ giác đó có ít nhất hai cạnh bằng nhau.
Gọi độ dài các cạnh của tứ giác là a, b, c, d (a, b, c, d).
Giả sử không có 2 cạnh nào của tứ giác bằng nhau. Không mất tính tổng quát, giả sử a > b > c > d. (*) (0,25)
Do tứ giác lồi nên a < b + c +d a < b + c + d < 3a 2a < a + b + c + d < 4a (0,25)
Từ giả thiết của bài toán suy ra a + b + c + d chia hết cho các số a, b, c, d nên ta có : a + b + c + d = 3a (1)
Đặt a + b + c + d = mb với m (2). a + b + c + d = nc với n (3)
Do a > b > c n > m > 3 n 5, m 4 (0,25)
Cộng (1), (2), (3) được 3(a + b + c + d) = 3a + mb + nc 3a +4b + 5c
(b – d) + 2(c – d) 0 , mâu thuẫn (*) (0,25)
Tứ giác có ít nhất 2 cạnh bằng nhau.
07BV. Một tứ giác lồi có độ dài bốn cạnh đều là số tự nhiên sao cho tổng ba số bất kì trong chúng chia hết cho số còn lại. Chứng minh rằng tứ giác đó có ít nhất hai cạnh bằng nhau.
DAPAN
08BV. Trong bảng ô vuông kích thước 88 gồm 64 ô vuông đơn vị, người ta đánh dấu 13 ô bất kì. Chứng minh rằng với mọi cách đánh dấu luôn có ít nhất 4 ô được đánh dấu không có điểm chung (hai ô có điểm chung là 2 ô chung đỉnh hoặc chung cạnh).
09BV. Hỏi có hay không 16 số tự nhiên, mỗi số có ba chữ số được tạo thành từ ba chữ số a, b, c thỏa mãn hai số bất kỳ trong chúng không có cùng số dư khi chia cho 16?
10BV. Cho 2014 đường thẳng cùng có tính chất: chia hình vuông thành hai tứ giác có tỉ số diện tích bằng . Chứng minh rằng có ít nhất 504 đường thẳng trong 2014 đường thẳng trên đồng quy.
11BV. Cho hình lục giác đều ABCDEG. Người ta tô đỏ hai đỉnh A và D, tô xanh 4 đỉnh còn lại. Sau đó người ta đổi màu các đỉnh đó theo quy tắc sau: Mỗi lần đổi màu phải chọn 3 đỉnh của một tam giác cân rồi đổi màu đồng thời cả 3 đỉnh đó (đỏ thành xanh, xanh thành đỏ). Hỏi sau một số lần đổi màu theo quy tắc đó thì có thể thu được kết quả là đỉnh C màu đỏ còn 5 đỉnh còn lại màu xanh không?
DAPAN
12BV. Trên một trục ta ghi n điểm A1, A2,..., An (với n 4) và tô bằng bốn màu khác nhau (mỗi điểm là một màu). Chứng minh rằng tìm được một đoạn thẳng con có hai mút là hai điểm có màu khác nhau và bên trong có chứa ít nhất hai điểm mang hai màu còn lại.
13BV. Bên trong hình vuông có cạnh bằng 1, lấy bất kì 51 điểm phân biệt. Chứng minh rằng phải tồn tại ít nhất 3 điểm trong số 51 điểm này nằm trong hình tròn có bán kính bằng .
14BV. Trong một hình vuông cạnh bằng 7, lấy 51 điểm. Chứng minh rằng có ít nhất 3 điểm trong 51 điểm đã cho cùng nằm trong 1 hình tròn có bán kính bằng 1.
15BV. Có 6 đội bóng thi đấu với nhau (mỗi đội phải đấu 1 trận với 5 đội khác).
CMR vào bất cứ lúc nào cũng có 3 đội trong đó từng cặp đã đấu với nhau hoặc chưa đấu với nhau trận nào.
DAPAN
Giả sử 6 đội bóng đó là A,B,C,D,E,F. Xét đội A.
Theo nguyên lý Đirichlê ta suy ra: A phải đấu hoặc không đấu với ít nhất 3 đội khác. Không mất tính tổng quát, giả sử A đã đấu với B,C,D.
Nếu B,C,D từng cặp chưa đấu với nhau thì bài toán được chứng minh.
Nếu B,C,D có 2 đội đã đấu với nhau, ví dụ B và C thì 3 đội A,B,C từng cặp đã đấu với nhau.
Như vậy bất cứ lúc nào cũng có 3 đội trong đó từng cặp đã đấu với nhau hoặc chưa đấu với nhau trận nào.
16BV. Hỏi có hay không 16 số tự nhiên, mỗi số có ba chữ số được tạo thành từ ba chữ số a, b, c thỏa mãn hai số bất kỳ trong chúng không có cùng số dư khi chia cho 16?
DAP AN
Không tồn tại 16 số như vậy.
Thật vậy, giả sử trái lại, tìm được 16 số thỏa mãn.
Khi đó, ta có 16 số dư phân biệt khi chia cho 16: 0,25 đ
0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15; trong đó có 8 số chẵn, 8 số lẻ.
Do đó, ba chữ số a, b, c khác tính chẵn lẻ,
giả sử hai chữ số chẵn là a, b và chữ số lẻ là c.
Có 9 số lẻ được tạo thành từ những chữ số này: 0,25 đ
Gọi là các số có hai chữ số thu được từ các số ở trên b
