CHỦ ĐỀ 1 VẤN ĐỀ 2 DẠNG TOÁN VỀ CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ là tài liệu môn Toán trong chương trình Lớp 12 được cungthi.vn tổng hợp và biên soạn. Tạo nguồn tài liệu giúp các bạn trong việc ôn tập
Những địa chỉ uy tín để bạn mua sách
Nội dung tóm tắt
VẤN ĐỀ 2: DẠNG TOÁN VỀ CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
LÝ THUYẾT CĂN BẢN CẦN NẮM VỮNG
Định nghĩa:
- Cho hàm số xác định và liên tục trên khoảng (a;b) (có thể a là ; b là ) và điểm .
1) Nếu tồn tại số h > 0 sao cho với mọi và thì ta nói hàm số đạt cực đại tại .
2) Nếu tồn tại số h > 0 sao cho với mọi và thì ta nói hàm số đạt cực tiểu tại .
Chú ý:
1) Nếu hàm số đạt cực đại tại thì được gọi là điểm cực đại của hàm số; được gọi là giá trị cực đại của hàm số, kí hiệu là ; còn điểm được gọi là điểm cực đại của đồ thị hàm số.
2) Nếu hàm số đạt cực đại tại thì được gọi là điểm cực tiểu của hàm số; được gọi là giá trị cực tiểu của hàm số, kí hiệu là ; còn điểm được gọi là điểm cực tiểu của đồ thị hàm số.
3) Các điểm cực đại và cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị. Giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) còn gọi là cực đại (cực tiểu) và được gọi chung là cực trị của hàm số.
4) Dễ dàng chứng minh được rằng, nếu hàm số có đạo hàm trên khoảng (a ; b)và đạt cực đại hoặc cực tiểu tại thì .
Định lí 1:
- Giả sử hàm số liên tục trên khoảng và có đạo hàm trên K hoặc trên , với h > 0.
1) Nếu trên khoảng và trên khoảng thì là một điểm cực đại của hàm số .
2) Nếu trên khoảng và trên khoảng thì là một điểm cực tiểu của hàm số .
Minh họa:
x
+ 0 -
x
- 0 +
Qui tắc tìm cực trị 1:
1) Tìm tập xác định.
2) Tính . Tìm các điểm tại đó bằng 0 hoặc không xác định.
3) Lập bảng biến thiên.
4) Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực trị.
Minh họa:
1) Tìm các điểm cực trị của đồ thị hàm số .
- Tập xác định: .
- Bảng biến thiên:
x 2 3
y’ + 0 - 0 +
y
- Suy ra đồ thị hàm số đã cho có một điểm cực đại , một điểm cực tiểu
2) Tìm cực trị của hàm số .
- Tập xác định: .
.
- Bảng biến thiên:
x 5
y’ - -
y 1 1
Suy ra hàm số không có cực trị.
Định lí 2:
- Giả sử hàm số có đạo hàm cấp hai trong khoảng , với h > 0. Khi đó:
1) Nếu , thì là điểm cực tiểu.
2) Nếu , thì là điểm cực đại.
Qui tắc tìm cực trị 2:
1) Tìm tập xác định.
2) Tính . Giải phương trình và kí hiệu
3) Tính và .
4) Dựa vào dấu của suy ra tính chất cực trị của điểm .
Minh họa:
1) Tìm các điểm cực trị của đồ thị hàm số
- Tập xác định: .
là điểm cực đại của hàm số.
là điểm cực tiểu của hàm số.
- Suy ra đồ thị hàm số đã cho có một điểm cực đại , một điểm cực tiểu
2) Tìm cực trị của hàm số .
- Tập xác định: .
.
Suy ra hàm số không có cực trị.
Tổng kết:
- Giả sử hàm số xác định trên khoảng (a;b) và .
1) là điểm cực đại của hàm số .
2) là điểm cực tiểu của hàm số .
3) là điểm cực tiểu của hàm số .
4) là điểm cực đại của hàm số
BÀI TẬP MINH HỌA
Ví dụ 1: Hàm số c có 3 cực trị tạo thành tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp nhỏ nhất bằng bao nhiêu ?
A. B. C. m = 0 D.
HƯỚNG DẪN GIẢI
* Phân tích
Cách 1: giải theo hướng truyền thống
- Để hàm có 3 cực trị thì m > 0 (1)
Gọi
Vậy tới đây công việc ta cần làm là tìm min của biểu thức:
Nhắc lại: Bất đẳng thức Cauchy
Với 3 số không âm a, b, c ta có:
Dấu đẳng thức xảy ra
- Áp dụng vào bài toán:
Vậy
- Dấu “=” xảy ra khi
- Giá trị nhỏ nhất của bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác tạo bởi 3 điểm cực trị có thể đạt được là: khi
Cách 2: Sử dụng công thức giải nhanh kết hợp với máy tính Casio
- Áp dụng công thức
- Tới đây các bạn có thể dùng Cauchy vì điều kiện m > 0. Nhưng ta có thể tìm nhanh giá trị max – min bằng Casio như sau:
+ B1. Bấm MODE 7 (TABLE), nhập vào giá trụ biểu thức
+ B2: Vì m > 0 nên cho Start một giá trị lớn hơn 0, ở đây tác giả lấy Start 0.5 End là 5 và bước nhảy Step là 0.5 (nên chọn để có khoảng 8-10 giá trị là được)
+ B3: Quan sát kết quả màn hình máy tính
Ta nhận xét sau: với x = 0.5 f(x) bắt đầu giảm và đến khi x = 1 f(x) lại bắt đầu tăng.
Từ đó có thể nhận xét giá trị nhỏ nhất của f(x) nằm trong (1.125;1) và x sẽ thuộc (0.5;1)
Tuy nhiên có tới 3 đáp án thỏa nhận xét trên, vì vậy ta phải chia nhỏ bước nhảy lại:
Cho giá trị start là 0.1, end là 1 với step là 0.1 ta có kết quả sau:
Nhận xét điểm giá trị nhỏ nhất của f(x) nằm trong khoảng (0.9542;0.945) (giá trị chính xác khi giải bằng cách 1 là )
Khi đó x thuộc khoảng (0.7;0.8)
So sánh đáp án chỉ có đáp án B thỏa mãn nhận xét trên
Lưu ý: Ta không thể tìm chính xác giá trị m bằng Casio nếm m không phải số hữu tỉ vì vậy khuyến khích các bạn sử dụng bất đẳng thức khi tìm được R.
Ví dụ 2: Cho hàm số . Tìm m để đường thẳng đi qua 2 cực trị của hàm số đã cho tiếp xúc với đường tròn
A. B. C. Cả A và B đúng D. Cả A và B sai
HƯỚNG DẪN GIẢI
* Phân tích:
Nhắc lại kiến thức:
Phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị của hàm bậc 3 là phần dư của phép chia hoặc CALC giá trị i vào phương trình (chuyển sang chế độ số phức).
Đường thẳng ax + by + c = 0 tiếp xúc với đường tròn tâm bán kính R
- Từ phân tích trên:
- Nhập vào máy tính phương trình: , CALC tại x = i (nhớ chuyển sang số phức
