Chương 2 KHỐI TRÒN XOAY Mức độ 3 Phần 4 là tài liệu môn Toán trong chương trình Lớp 12 được cungthi.vn tổng hợp và biên soạn. Tạo nguồn tài liệu giúp các bạn trong việc ôn tập
Những địa chỉ uy tín để bạn mua sách
Nội dung tóm tắt
Câu 1: (Tạp chí THTT – Tháng 4 năm 2017 – 2018) Cho tam giác vuông ở có . là một điểm thay đổi trên cạnh . Gọi , lần lượt là hình chiếu vuông góc của trên , . Gọi và tương ứng là thể tích của vật thể tròn xoay tạo bởi tam giác và hình chữ nhật khi quay quanh trục . Tỉ số lớn nhất bằng
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn B
Giả sử , , . Ta có:
, , .
, , .
Khi quay tam giác quanh trục ta được một khối nón có thể tích là :
.
Khi quay hình chữ nhật quanh trục ta được một khối trụ có thể tích là :
.
Do đó, .
Xét hàm số trên đoạn .
Ta có : ; .
, , .
Suy ra .
Vậy giá trị lớn nhất của tỉ số bằng .
Câu 2: (Tạp chí THTT – Tháng 4 năm 2017 – 2018) Cho mặt nón tròn xoay đỉnh đáy là đường tròn tâm có thiết diện qua trục là một tam giác đều cạnh bằng . , là hai điểm bất kỳ trên . Thể tích khối chóp đạt giá trị lớn nhất bằng
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn B
Ta có , ,
Ta có .
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi .
Vậy .
Câu 3: (THPT Chuyên Nguyễn Quang Diệu – Đồng Tháp – Lần 5 năm 2017 – 2018) Mặt tiền của một ngôi biệt thự có cây cột hình trụ tròn, tất cả đều có chiều cao bằng m. Trong số các cây đó có cây cột trước đại sảnh đường kính bằng cm, cây cột còn lại phân bố đều hai bên đại sảnh và chúng đều có đường kính bằng cm. Chủ nhà thuê nhân công để sơn các cây cột bằng loại sơn giả đá, biết giá thuê là (kể cả vật liệu sơn và phần thi công). Hỏi người chủ phải chi ít nhất bao nhiêu tiền để sơn hết các cây cột nhà đó (đơn vị đồng)?
(lấy )
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn D
Các cây cột có chiều cao là m.
cây cột trước đại sảnh bán kính bằng m.
cây cột ở hai bên đại sảnh có bán kính bằng m.
Diện tích xung quanh của cây cột là: .
Số tiền ít nhất phải chi để sơn hết các cây cột là: .
Vậy số tiền cần chi là đồng.
Câu 4: (THPT Chuyên Nguyễn Quang Diệu – Đồng Tháp – Lần 5 năm 2017 – 2018) Ông An đặt hàng cho một cơ sở sản xuất chai lọ thủy tinh chất lượng cao để làm loại chai nước có kích thước phần không gian bên trong của chai như hình vẽ, đáy dưới có bán kính , bán kính cổ chai , , , . Tính thể tích phần không gian bên trong của chai nước.
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn A
Thể tích khối trụ bán kính đáy là chiều cao là:
.
Thể tích khối nón cụt có chiều cao là:
.
Thể tích khối trụ bán kính đáy là chiều cao ( khối cổ chai) là:
.
Thể tích phần không gian bên trong của chai nước là: .
Câu 5: (THPT Chuyên Lương Thế Vinh - Hà Nội – Lần 2 năm 2017 – 2018) Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng . Mặt phẳng qua và trung điểm của cắt hình chóp theo thiết diện có chu vi bằng . Thể tích của khối nón có đỉnh là và đường tròn đáy ngoại tiếp tứ giác bằng
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn D
Gọi là trung điểm suy ra cắt hình chóp theo thiết diện là hình thang .
Gọi độ dài cạnh bên của hình chóp là . Do chóp là chóp đều nên .
Áp dụng hệ thức trung tuyến ta có: .
Suy ra
Mặt khác dễ thấy , mà chu vi thiết diện bằng nên ta có: .
Suy ra chiều cao của hình chóp: .
Khối nón có đỉnh là và đường tròn đáy ngoại tiếp tứ giác chiều cao là và bán kính đường tròn đáy là nên thể tích khối nón là:
.
Câu 6: (THPT Chu Văn An – Hà Nội - năm 2017-2018) Bạn An có một cốc giấy hình nón có đường kính đáy là và độ dài đường sinh là . Bạn dự định đựng một viên kẹo hình cầu sao cho toàn bộ viên kẹo nằm trong cốc (không phần nào của viên kẹo cao hơn miệng cốc). Hỏi bạn An có thể đựng được viên kẹo có đường kính lớn nhất bằng bao nhiêu?
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn D
Gọi là mặt phẳng đi qua đỉnh và vuông góc với mặt phẳng đáy của hình nón. Khi đó cắt hình cầu (viên kẹo) theo thiết diện là đường tròn lớn. Viên kẹo có đường kính lớn nhất khi và chỉ khi đường tròn lớn là đường tròn nội tiếp tam giác .
Nửa chu vi tam giác là .
Diện tích tam giác là .
Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác : , do đó đường kinh .
Câu 7: (THPT Chuyên Võ Nguyên Giáp – Quảng Bình - năm 2017-2018) Cho tam giác vuông tại có ; , là trung điểm của . Quay tam giác quanh trục ta được khối tròn xoay. Gọi và lần lượt là thể tích và diện tích của khối tròn xoay đó. Chọn mệnh đề đúng.
A. ; . B.;.
C.;. D.;.
Hướng dẫn giải
Chọn A
Gọi là hình nón tròn xoay tạo thành khi cho tam giác quay quanh cạnh , là hình nón tròn xoay tạo thành khi cho tam giác quay quanh cạnh .
Khi đó ; .
Câu 8: (Chuyên Lê Hồng Phong – Nam Đinh - năm 2017-2018) Cho hình chóp có đáy là tam giác vuông tại , Mặt bên vuông góc với đáy, , . Gọi là mặt cầu tâm và tiếp xúc với . Tính bán kính của mặt cầu .
A. . B. . C. . D. .
Hướng dẫn giải
Chọn B
Ta có , , .
Vẽ tại , vẽ tại
.
Ta có , .
Vậy bán kính của mặt cầu bằng .
Câu 9: Cho hình trụ có bán kính đáy bằng 4. Một mặt phẳng không vuông góc với đáy và cắt hai đáy của hình trụ theo hai dây cung song song thỏa mãn . Biết rằng tứ giác có diện tích bằng . Tính chiều cao của hình trụ.
A. . B.. C.. D. .
Câu 10: Cho hình trụ có bán kính đáy bằng 4. Một mặt phẳng không vuông góc với đáy và cắt hai đáy của hình trụ theo hai dây cung song song thỏa mãn . Biết rằng tứ giác có diện tích bằng . Tính
