Chương 3 DÃY SỐ CẤP SỐ NHÂN CẤP SỐ CỘNG Mức độ 3 Phần 2 là tài liệu môn Toán trong chương trình Lớp 11 được cungthi.vn tổng hợp và biên soạn. Tạo nguồn tài liệu giúp các bạn trong việc ôn tập
Những địa chỉ uy tín để bạn mua sách
Nội dung tóm tắt
Câu 1: (THPT Chuyên Vĩnh Phúc-MĐ 903 lần 1-năm 2017-2018) Trong sân vận động có tất cả dãy ghế, dãy đầu tiên có ghế, các dãy liền sau nhiều hơn dãy trước ghế, hỏi sân vận động đó có tất cả bao nhiêu ghế?
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn C
Gọi lần lượt là số ghế của dãy ghế thứ nhất, dãy ghế thứ hai,… và dãy ghế số ba mươi. Ta có công thức truy hồi ta có ,.
Ký hiệu:, theo công thức tổng các số hạng của một cấp số cộng với , ta được:
.
Câu 2: (THPT Chuyên Vĩnh Phúc-lần 1 MĐ 904 năm 2017-2018) Cho hình vuông có cạnh bằng 1. Gọi , , , thứ tự là trung điểm các cạnh , , , (với Chu vi của hình vuông bằng
A. B. C. D.
Lời giải :
Chọn B
Hình vuông có cạnh bằng thì có chu vi là . Hình vuông có các đỉnh là trung điểm của hình vuông ban đầu có cạnh bằng có chu vi là .
Đường chéo của hình vuông có độ dài bằng nên cạnh của hình vuông có độ dài bằng
Đường chéo của hình vuông có độ dài bằng nên cạnh của hình vuông có độ dài bằng
Đường chéo của hình vuông có độ dài bằng nên cạnh của hình vuông có độ dài bằng
Cứ như thế độ dài các cạnh hình vuông tạo thành một cấp số nhân có , công bội nên độ dài cạnh của hình vuông là: nên chu vi hình vuông đó là:
Câu 3: (THPT Chuyên Trần Phú-Hải Phòng lần 1 năm 2017-2018) Cho dãy số với . Tính .
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn B
* Cách 1:
Ta có suy ra
…
…
nên .
* Cách 2:
Ta có . Ta chứng minh bằng qui nạp
+ Với , công thức đúng.
+ Giả sử công thức đúng với . Ta cần chứng minh . Thật vậy, ta có
. Vậy công thức đúng với mọi .
Khi đó .
Câu 4: (THPT Hà Huy Tập-Hà Tĩnh-lần 1 năm 2017-2018) Cho tứ diện có và . Tính góc giữa hai đường thẳng và .
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn C
Cách 1: Gọi là trung điểm của .
Ta có: nên tam giác vuông cân tại .
Và nên tam giác vuông cân tại .
Vẽ hình chữ nhật (cũng là hình vuông) và .
.
vuông tại .
.
.
Suy ra tam giác đều .
Cách 2:
.
Vậy góc giữa hai đường thẳng và là .
Câu 5: (THPT Thạch Thành 2-Thanh Hóa-lần 1 năm 2017-2018) Cho dãy số xác định bởi , , , . Tính tổng của số hạng đầu tiên của dãy số.
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn C
Vì suy ra là một cấp số nhân với .
Suy ra .
Câu 6: (THPT Yên Lạc-Vĩnh Phúc-lần 3 năm 2017-2018) Cho dãy số xác định bởi và với mọi Tìm số hạng thứ của dãy số đã cho.
A. B.
C. D.
Lời giải
Chọn C
Ta có .
Đặt , ta có .
Do đó là một CSN với và công bội .
Do đó số hạng tổng quát của dãy là .
Khi đó .
Câu 7: (SGD Bắc Ninh năm 2017-2018) Cho hình vuông có cạnh bằng . Người ta chia mỗi cạnh của hình vuông thành bốn phần bằng nhau và nối các điểm chia một cách thích hợp để có hình vuông (Hình vẽ).
Từ hình vuông lại tiếp tục làm như trên ta nhận được dãy các hình vuông ,, ,., ... Gọi là diện tích của hình vuông . Đặt . Biết , tính ?
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn A
Cạnh của hình vuông là: . Do đó diện tích .
Cạnh của hình vuông là: . Do đó diện tích . Lý luận tương tự ta có các ,, . tạo thành một dãy cấp số nhân lùi vô hạn có và công bội .
. Với ta có .
Câu 8: (THPT Chuyên Phan Bội Châu-Nghệ An- lần 1 năm 2017-2018) Cho hai cấp số cộng : ; ;...; và : ; ;...;. Hỏi có bao nhiêu số có mặt đồng thời trong cả hai dãy số trên.
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn B
Cấp số cộng : ; ;...; có số hạng tổng quát: .
Cấp số cộng : ; ;...; có số hạng tổng quát:.
Các số có mặt đồng thời trong cả hai dãy số trên thỏa mãn hệ: .
Vì nên và với
Ta lại có .
Có , . Vì .
Vì .
Vậy có số hạng có mặt đồng thời ở hai dãy số trên.
Câu 9: (THPT Chuyên Vĩnh Phúc - lần 3 năm 2017-2018) Cho cấp số cộng biết và . Tìm số hạng đầu tiên và công sai của cấp số cộng.
A. ;. B. ; . C. ; . D. ;.
Lời giải
Chọn A
Ta có: .
.
Từ và suy ra ;.
Câu 10: (THPT Lê Hoàn-Thanh Hóa-lần 1 năm 2017-2018) Cho cấp số cộng biết và . Giá trị và là
A. , . B. , . C. , . D. , .
Lời giải
Chọn D
Ta có .
Lại có .
Khi đó ta có hệ phương trình .
Câu 11: (THPT Tứ Kỳ-Hải Dương năm 2017-2018) Giả sử , , theo thứ tự đó là một cấp số nhân. Tính .
A. . B. . C. . D. .
Hướng dẫn giải
Chọn D
Điều kiện: .
Theo tính chất của cấp số nhân, ta có: .
.
Ta có: .
Câu 12: (THPT Hậu Lộc 2-Thanh Hóa năm 2017-2018) Cho bốn số , theo thứ tự đó tạo thành cấp số nhân với công bội khác . Biết tổng ba số hạng đầu bằng , đồng thời theo thứ tự đó chúng lần lượt là số hạng thứ nhất, thứ tư và thứ tám của một cấp số cộng. Tính giá trị biểu thức .
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn C
Ta có .
Và cấp số cộng có , , . Gọi là công sai của cấp số cộng. Vì cấp số nhân có công bội khác nên .
Ta có : .
Từ và ta được : .
Do nên .
Từ và , suy ra .
Do đó : .
Vậy .
Câu 13: (THPT Chuyên Biên Hòa-Hà Nam-lần 1 năm 2017-2018) Tính tổng
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn A
Ta có
Xét
Và
Suy ra .
Câu 14: (THTT số 5-488 tháng 2 năm 2018) Ba số phân biệt có tổng là có thể coi là các số hạng liên tiếp của một cấp số nhân, cũng có thể coi là số hạng thứ , thứ , thứ của một cấp số cộng. Hỏi phải lấy bao nhiêu số hạng đầu của cấp số cộng này để tổng của chúng bằng ?
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Chọn A
Gọi ba số đó là , , . Do ba số
