Chuyên đề BD HSG Toán 6,7,8 là tài liệu môn Toán trong chương trình Lớp 8 được cungthi.vn tổng hợp và biên soạn. Tạo nguồn tài liệu giúp các bạn trong việc ôn tập
Những địa chỉ uy tín để bạn mua sách
Nội dung tóm tắt
Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán Đại số
Dạng I : Dãy số viết theo qui luật (lớp 6&7)
Bài toán 1: So sánh giá trị biều thức với các số 98 và 99.
Ta có: =
với B = > 0 Nên A < 99.
Ta có với mọi k nên
Do đó . Vậy
Tổng quát:
Bài toán 2: Viết số trong hệ thập phân. Tìm ba số đầu tiên bên trái số đó?
Giải: Ta có ; Đặt gồm có 3001 chữ số mà 4 chữ số đầu bên trái là 1000 (1)
Đặt C = gồm 3001 chữ số mà 4 chữ số đầu bên trái là 1001 (2). Vì B < A < C và B, C đều có 3001 chữ số nên từ (1) và (2) suy ra A có 3001 chữ số nên ba chữ số đầu tiên bên trái của A là 100.
Bài toán 3:
Cho . Chứng minh rằng .
Giải : Ta có
. (1)
Với từ (1) ta có: . Từ đó :
Với . Suy ra .
Với từ (1) ta có: . Từ đó :
Với . Suy ra . Vậy
Tổng quát:
Bài toán 4: Tính biết :
; .
Giải:
Với các số nguyên dương n và k ta có .
Với k = 30 ta có :
Với k = 1978 ta có :
.
Từ (1) và (2) suy ra .
Bài toán 5: Tính tổng sau: .
Giải:
Với thì
Do đó .
Bài toán 6: Tính các tổng sau:
(*) ;
Giải:
Ta có:.
Từ bài toán (*) suy ra .
Nếu . Tính giá trị của B = 3A với B = 3A thì B = (n-1)n(n+1) với n = 100
. Do đó hay
Vậy
Công thức tính tổng các bình phương n số tự nhiên
Bài toán 7: Tính biết:
. .
Ta có và
Nên:
.
Do đó
Bài toán 8:Gọi A là tích các số nguyên liên tiếp từ 1 đến 1001 và B là tích các số nguyên liên tiếp từ 1002 đến 2002. Hỏi A + B chia hết cho 2003 không?
Giải:
Ta có: và .
Ta viết B dưới dạng: . Khai triển B có một tổng ngoài số hạng . Tất cả các số hạng khác của tổng đều chứa một thừa số 2003. Nên
với n là số tự nhiên. Do đó: là một số chia hết cho 2003.
Cách giải khác:
Ta có các cặp số nguyên sau có cùng số dư khi chia cho 2003 ; . Do đó và có cùng số dư khi chia cho 2003. Nên chia hết cho 2003
Dạng II :Phương pháp tách trong biến đổi phân thức đại số (lớp 8)
Chứng minh rằng biểu thức sau không phụ thuộc vào biến.
với . Từ kết quả trên ta có thể suy ra hằng đẳng thức: (*) trong đó x ; y; z đôi một khác nhau.
Thực chất ở đây ta thay x – y bởi z – y thay z - x bởi y – x giữ nguyên thừa số kia sẽ có hai số hạng ở vế phải, Vận dụng hằng đẳng thức (*) giải các bài tập sau:
Bài toán 1:
Cho chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào a, b, c.
Áp dụng hằng đẳng thức (*)
Bài toán 2: Cho . Rút gọn biểu thức
Giải Vận dụng công thức (*) ta đ ược
Bài toán 3: Cho a, b, c đôi một khác nhau. Chứng minh rằng:
Biến đổi vế trái, ta được: =
=
=.
Sau khi biến đổi vế trái bằng vế phải. Đẳng thức được chứng minh.
Bài toán 4: Cho a, b, c đôi một khác nhau. Chứng minh:
Giải: Ta có (1)
Tương tự ta có: (2)
(3)
Từ (1) ;(2) và (3) ta có
(đpcm)
Bài toán 5: Rút gọn biểu thức:
với
Giải:
Ta có: (1)
Tương tự: (2) (3)
Cộng (1), (2) và (3) vế theo vế ta có
Bài toán 6: Cho ba phân thức ; ; . Chứng minh rằng tổng ba phân thức bằng tích của chúng.
Giải:
Ta có : nên
(đpcm).
Bài toán 7: Cho ba số nguyên dương a, b, c tuỳ ý, tổng sau có phải là số nguyên dương không?
Giải:
Ta có hay M > 1 .
hay M < 2
Vậy 1 < M <2 . Do đó M không thể là số nguyên dương.
Bài toán 8: Đơn giản biểu thức
Giải: MSC là : . Nên
Với
Bài toán 9: Tính giá trị của biểu thức:
Giải: Đặt a = 2004 Khi đó:
. Vậy P = 1
TÍNH CHẤT CHIA HẾT CỦA SỐ CHÍNH PHƯƠNG
-Số chính phương chỉ có thể có chữ số tận cùng bằng 0, 1, 4, 5, 6, 9 ; không thể có chữ số tận cùng bằng 2, 3, 7, 8.
-Khi phân tích ra thừa số nguyên tố, số chính phương chỉ chứa các thừa số nguyên tố với số mũ chẵn.
-Số chính phương chỉ có thể có một trong hai dạng 4n hoặc 4n + 1. Không có số chính phương nào có dạng 4n + 2 hoặc 4n + 3 (n thuộc N).
-Số chính phương chỉ có thể có một trong hai dạng 3n hoặc 3n + 1. Không có số chính phương nào có dạng 3n + 2 (n thuộc N).
-Số chính phương tận cùng bằng 1 hoặc 9 thì chữ số hàng chục là chữ số chẵn.
-Số chính phương tận cùng bằng 5 thì chữ số hàng chục là 2
-Số chính phương tận cùng bằng 4 thì chữ số hàng chục là chữ số chẵn.
-Số chính phương tận cùng bằng 6 thì chữ số hàng chục là chữ số lẻ.
-Số chính phương chia hết cho 2 thì chia hết cho 4.
-Số chính phương chia hết cho 3 thì chia hết cho 9.
-Số chính phương chia hết cho 5 thì chia hết cho 25.
-Số chính phương chia hết cho 8 thì chia hết cho 16.
Nếu a và là các số nguyên và n là số tự nhiên lẻ thì
